дана функция y=x^2+2x
исследуйте функцию y= 2x/x+1, где x<-1, на ограниченность
исследуйте функцию y=3x^3-/x/ на чётность / / - МОДУЛЬ
Давайте исследуем каждую из заданных функций:
Функция ( y = x^2 + 2x )
Исследование на монотонность, если ( x \geq -1 ):
Найдем производную данной функции: [ y' = 2x + 2 ] Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: [ 2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1 ] Если ( x > -1 ), то ( 2x + 2 > 0 ), следовательно, функция возрастает на интервале ( x \geq -1 ).
Нахождение наибольшего и наименьшего значения на отрезке ([-2; 0.4]):
Подставим граничные точки в функцию: [ y(-2) = (-2)^2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0 ] [ y(0.4) = (0.4)^2 + 2 \times 0.4 = 0.16 + 0.8 = 0.96 ] Также учитываем точку минимума ( x = -1 ): [ y(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 ] Наименьшее значение на отрезке ([-2; 0.4]) равно (-1), наибольшее значение равно (0.96).
Функция ( y = \frac{2x}{x + 1} ), где ( x < -1 )
Исследование на ограниченность:
Рассмотрим поведение функции при ( x ) стремящемся к (-\infty): [ \lim{x \to -\infty} \frac{2x}{x + 1} = \lim{x \to -\infty} \frac{2x}{x(1 + \frac{1}{x})} = 2 ] При ( x ) стремящемся к (-1) слева: [ \lim_{x \to -1^-} \frac{2x}{x + 1} = -\infty ] Функция не ограничена, так как при приближении ( x ) к (-1) слева, ( y ) стремится к (-\infty).
Функция ( y = 3x^3 - |x| )
Исследование на четность:
Функция четная, если ( f(-x) = f(x) ) для всех ( x ) из области определения функции. [ f(-x) = 3(-x)^3 - |-x| = -3x^3 - |x| ] [ f(x) = 3x^3 - |x| ] Так как ( -3x^3 - |x| \neq 3x^3 - |x| ), функция не является четной. Также она не является и нечетной, так как ( f(-x) \neq -f(x) ).
а) Исследование функции y=x^2+2x на монотонность при x>=-1: Для определения монотонности функции необходимо найти производную и выяснить ее знак. Производная функции y=x^2+2x равна y'=2x+2. При x>=-1 производная всегда положительна, так как коэффициент при x положителен. Это означает, что функция y=x^2+2x возрастает на всем отрезке x>=-1.
б) Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [-2; 0,4]: Для этого вычислим значения функции в крайних точках отрезка и в критической точке (где производная равна 0). При x=-2: y=(-2)^2+2(-2)=4-4=0 При x=0,4: y=(0,4)^2+20,4=0,16+0,8=0,96 Найдем критическую точку, приравняв производную к нулю: 2x+2=0 => x=-1 При x=-1: y=(-1)^2+2*(-1)=1-2=-1 Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-2; 0,4] равно 0,96, а наименьшее значение равно -1.
Исследование функции y=2x/(x+1) при x<-1 на ограниченность: Для анализа ограниченности функции рассмотрим ее поведение при x, стремящемся к минус бесконечности (x<-1). При x<-1 функция y=2x/(x+1) стремится к -2, так как при отрицательном x знак числителя и знаменателя одинаков, их абсолютные значения равны, а коэффициент при x равен 2. Таким образом, функция y=2x/(x+1) ограничена при x<-1 и стремится к -2.
Исследование функции y=3x^3-|x| на четность: Функция y=3x^3-|x| содержит в себе член с модулем. Для определения четности функции подставим в нее -x и x: При x: y=3x^3-|x| При -x: y=3(-x)^3-|-x|=-3x^3-|x| Полученные значения функции при x и -x не равны, что говорит о том, что функция y=3x^3-|x| не является ни четной, ни нечетной.
