1) Е(4;12), F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2)
Найти: а) координаты векторов EF,GH
б) координаты точки О - середины EF
г) уравнение окружности с диаметром FG
д) уравнение прямой FH
2) A(1;1), B(4;2), C(5;5), D(2;4)
Доказать что ABCD - параллелограмм.
Давайте разберем каждый из вопросов по порядку.
Вектор EF: Чтобы найти координаты вектора, нужно вычесть координаты начальной точки из координат конечной точки.
Координаты вектора EF: [ \text{EF} = (x_F - x_E, y_F - y_E) = (-4 - 4, -10 - 12) = (-8, -22) ]
Вектор GH: Аналогично, для вектора GH: [ \text{GH} = (x_H - x_G, y_H - y_G) = (4 - (-2), -2 - 6) = (6, -8) ]
Координаты середины отрезка (середина отрезка между двумя точками) находятся как среднее арифметическое координат его концов.
Координаты точки O: [ x_O = \frac{x_E + x_F}{2} = \frac{4 + (-4)}{2} = 0 ] [ y_O = \frac{y_E + y_F}{2} = \frac{12 + (-10)}{2} = 1 ] Итак, координаты точки O: ( (0, 1) ).
Диаметр окружности FG имеет концы F(-4, -10) и G(-2, 6). Центр окружности (середина диаметра) будет: [ x_C = \frac{-4 + (-2)}{2} = -3 ] [ y_C = \frac{-10 + 6}{2} = -2 ]
Радиус окружности равен половине длины диаметра FG: [ r = \frac{\sqrt{(x_G - x_F)^2 + (y_G - y_F)^2}}{2} = \frac{\sqrt{(-2 + 4)^2 + (6 + 10)^2}}{2} = \frac{\sqrt{4 + 256}}{2} = \frac{\sqrt{260}}{2} = \frac{2\sqrt{65}}{2} = \sqrt{65} ]
Уравнение окружности: ((x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 65).
Для нахождения уравнения прямой через две точки (F и H) используем формулу: ((y - y_1) = m(x - x_1)), где (m) — это угловой коэффициент: [ m = \frac{y_H - y_F}{x_H - x_F} = \frac{-2 + 10}{4 + 4} = \frac{8}{8} = 1 ]
Уравнение прямой: [ y - (-10) = 1(x - (-4)) ] [ y + 10 = x + 4 ] [ y = x - 6 ]
Для доказательства того, что четырехугольник является параллелограммом, достаточно показать, что векторы противоположных сторон равны.
Вектор AB: [ \text{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (4 - 1, 2 - 1) = (3, 1) ]
Вектор CD: [ \text{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C) = (2 - 5, 4 - 5) = (-3, -1) ]
Вектор BC: [ \text{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (5 - 4, 5 - 2) = (1, 3) ]
Вектор DA: [ \text{DA} = (x_A - x_D, y_A - y_D) = (1 - 2, 1 - 4) = (-1, -3) ]
Так как (\text{AB} = -\text{CD}) и (\text{BC} = -\text{DA}), то противоположные стороны равны и параллельны, следовательно, ABCD — параллелограмм.
а) Координаты вектора EF: (-4 - 4; -10 - 12) = (-8; -22) Координаты вектора GH: (4 - (-2); -2 - 6) = (6; -8)
б) Координаты точки О - середины EF: (4 + (-4)) / 2; (12 + (-10)) / 2 = (0; 1)
г) Диаметр FG - это вектор, направленный от F к G: (-2 - (-4); 6 - (-10)) = (2; 16) Половина диаметра: (2/2; 16/2) = (1; 8) Координаты центра окружности: F + (1; 8) = (-4 + 1; -10 + 8) = (-3; -2) Радиус окружности: расстояние от центра до любой из точек (например, F): sqrt((-4 - (-3))^2 + (-10 - (-2))^2) = sqrt(1 + 64) = sqrt(65) Уравнение окружности: (x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 65
д) Уравнение прямой FH: y = kx + b Найдем коэффициент наклона k: k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-2 - 6) / (4 - (-2)) = -8 / 6 = -4/3 Теперь найдем коэффициент b: y = (-4/3)x + b, подставим координаты точки F (4,-2): -2 = (-4/3)*4 + b -2 = -16/3 + b b = -2 + 16/3 = -6/3 + 16/3 = 10/3 Уравнение прямой FH: y = (-4/3)x + 10/3
2) Векторы AB и CD имеют равные координаты: (4 - 1; 2 - 1) = (3; 1) Векторы BC и DA имеют равные координаты: (5 - 4; 5 - 2) = (1; 3) Таким образом, все стороны параллелограмма ABCD имеют равные координаты, следовательно, фигура ABCD - параллелограмм.
а) Вектор EF: (-8; -22) Вектор GH: (6; -8)
б) Точка О: (0; 1)
г) Уравнение окружности: (x+1)^2 + (y-3)^2 = 25
д) Уравнение прямой FH: y = -3x + 10
2) Для доказательства того, что ABCD - параллелограмм, нужно показать, что AC || BD и AB || CD. Уравнение прямой AC: y = x+4 Уравнение прямой BD: y = 0.5x + 1 Уравнение прямой AB: y = 0.5x + 0.5 Уравнение прямой CD: y = x+3 Таким образом, AC || BD и AB || CD, следовательно, ABCD - параллелограмм.
