1. Найдите точку максимума функции: y=(x-12)^2*(x-3)+4 2. Найдите точку минимума функции: y=(x+8)^2*(5x-32)+11...

Чтобы найти точки максимума и минимума для данных функций, необходимо использовать производные. Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Найдите точку максимума функции: ( y = (x-12)^2(x-3) + 4 )

Для нахождения критических точек, где возможен максимум или минимум, найдем первую производную функции и приравняем её к нулю.

Функция: ( y = (x-12)^2(x-3) + 4 ).

Шаг 1: Найдите первую производную.

Применим правило произведения для нахождения производной:

[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[(x-12)^2] \cdot (x-3) + (x-12)^2 \cdot \frac{d}{dx}(x-3) ]

Где:

[ \frac{d}{dx}[(x-12)^2] = 2(x-12) ]

и

[ \frac{d}{dx}(x-3) = 1 ]

Подставим в формулу:

[ \frac{dy}{dx} = 2(x-12)(x-3) + (x-12)^2 ]

Упростим выражение:

[ \frac{dy}{dx} = (x-12)[2(x-3) + (x-12)] ]

[ = (x-12)(2x - 6 + x - 12) ]

[ = (x-12)(3x - 18) ]

Шаг 2: Найдите критические точки.

Приравняем производную к нулю:

[ (x-12)(3x-18) = 0 ]

Решим уравнения:

1. ( x-12 = 0 \Rightarrow x = 12 )
2. ( 3x-18 = 0 \Rightarrow x = 6 )

Шаг 3: Проверьте вторую производную или используйте тест первой производной, чтобы определить максимум.

Вторая производная:

[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}[(x-12)(3x-18)] ]

[ = (x-12) \cdot 3 + (3x-18) \cdot 1 ]

[ = 3(x-12) + (3x-18) ]

[ = 3x - 36 + 3x - 18 ]

[ = 6x - 54 ]

Проверка:

1. Для ( x = 12 ): ( 6(12) - 54 = 72 - 54 = 18 > 0 ), значит, это минимум.
2. Для ( x = 6 ): ( 6(6) - 54 = 36 - 54 = -18 < 0 ), значит, это максимум.

Ответ: Точка максимума: ( x = 6 ).

2. Найдите точку минимума функции: ( y = (x+8)^2(5x-32) + 11 )

Шаг 1: Найдите первую производную.

Функция: ( y = (x+8)^2(5x-32) + 11 ).

[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[(x+8)^2] \cdot (5x-32) + (x+8)^2 \cdot \frac{d}{dx}(5x-32) ]

Где:

[ \frac{d}{dx}[(x+8)^2] = 2(x+8) ]

и

[ \frac{d}{dx}(5x-32) = 5 ]

Подставим в формулу:

[ \frac{dy}{dx} = 2(x+8)(5x-32) + (x+8)^2 \cdot 5 ]

Упростим выражение:

[ \frac{dy}{dx} = (x+8)[2(5x-32) + 5(x+8)] ]

[ = (x+8)(10x - 64 + 5x + 40) ]

[ = (x+8)(15x - 24) ]

Шаг 2: Найдите критические точки.

Приравняем производную к нулю:

[ (x+8)(15x-24) = 0 ]

Решим уравнения:

1. ( x+8 = 0 \Rightarrow x = -8 )
2. ( 15x-24 = 0 \Rightarrow x = \frac{24}{15} = \frac{8}{5} )

Шаг 3: Проверьте вторую производную.

Вторая производная:

[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}[(x+8)(15x-24)] ]

[ = (x+8) \cdot 15 + (15x-24) \cdot 1 ]

[ = 15(x+8) + (15x-24) ]

[ = 15x + 120 + 15x - 24 ]

[ = 30x + 96 ]

Проверка:

1. Для ( x = -8 ): ( 30(-8) + 96 = -240 + 96 = -144 < 0 ), значит, это максимум.
2. Для ( x = \frac{8}{5} ): ( 30(\frac{8}{5}) + 96 = 48 + 96 = 144 > 0 ), значит, это минимум.

Ответ: Точка минимума: ( x = \frac{8}{5} ).

3. Найдите наименьшее значение функции: ( y = 3x - x\sqrt{x+9} ) на отрезке ([1, 7])

Шаг 1: Найдите первую производную.

[ y = 3x - x\sqrt{x+9} ]

Производная:

[ \frac{dy}{dx} = 3 - \left(\sqrt{x+9} + \frac{x}{2\sqrt{x+9}}\right) ]

[ = 3 - \frac{2x + x}{2\sqrt{x+9}} ]

[ = 3 - \frac{3x}{2\sqrt{x+9}} ]

Шаг 2: Найдите критические точки на интервале.

Приравняем производную к нулю:

[ 3 - \frac{3x}{2\sqrt{x+9}} = 0 ]

[ \frac{3x}{2\sqrt{x+9}} = 3 ]

[ 3x = 6\sqrt{x+9} ]

[ x^2 = 4(x+9) ]

[ x^2 = 4x + 36 ]

[ x^2 - 4x - 36 = 0 ]

Решим квадратное уравнение:

[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 144}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{160}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{10}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{10} ]

Приблизительное значение: ( x = 2 \pm 6.32 ).

Это значение не входит в отрезок ([1, 7]), поэтому рассмотрим границы:

Шаг 3: Найдите значения функции на границах отрезка.

1. ( y(1) = 3(1) - 1\sqrt{1+9} = 3 - \sqrt{10} )
2. ( y(7) = 3(7) - 7\sqrt{7+9} = 21 - 7\sqrt{16} = 21 - 28 = -7 )

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке ([1, 7]) равно (-7).

1. Для нахождения точки максимума функции y=(x-12)^2(x-3)+4 найдем производную и приравняем ее к нулю: y' = 2(x-12)(x-3) + (x-12)^2 = 0 Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и решим уравнение: 2x^2 - 30x + 108 = 0 x^2 - 15x + 54 = 0 (x-6)(x-9) = 0 x = 6 или x = 9 Теперь найдем значение функции в найденных точках: y(6) = (6-12)^2(6-3)+4 = 36 y(9) = (9-12)^2(9-3)+4 = 36 Таким образом, точка максимума функции y=(x-12)^2(x-3)+4 равна (6, 36) или (9, 36).

2. Для нахождения точки минимума функции y=(x+8)^2(5x-32)+11 также найдем производную и приравняем ее к нулю: y' = 2(x+8)(5x-32) + (x+8)^2 = 0 Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и решим уравнение: 10x^2 - 64x + 16 = 0 5x^2 - 32x + 8 = 0 x = (32 ± √(32^2 - 45*8)) / 10 x = (32 ± 8√21) / 10 x = (16 ± 4√21) / 5 Теперь найдем значение функции в найденных точках: y((16 + 4√21) / 5) и y((16 - 4√21) / 5) Эти значения будут соответствовать точкам минимума функции.

3. Для нахождения наименьшего значения функции y=3x-x*sqrt(x+9) на отрезке [1,7] найдем производную и приравняем ее к нулю, затем найдем значения функции на концах отрезка и в найденной точке. После этого сравним полученные значения и найдем наименьшее.