1. Посторить график функции у=2х2+8х+6 и определить ее свойства. 2. Посторить график функции у= - 1...

1. Для построения графика функции у=2х^2+8х+6 сначала найдем вершину параболы. Вершина параболы задается формулой x = -b/(2a), где a=2 и b=8. Таким образом, x = -8/(22) = -2. Подставляя x=-2 в исходное уравнение, получаем y = 2(-2)^2 + 8(-2) + 6 = 24 - 16 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2. Таким образом, вершина параболы находится в точке (-2, -2).

Далее, можно найти также ось симметрии, которая проходит через вершину параболы и является вертикальной прямой x=-2.

Также можно определить направление выпуклости параболы. Поскольку коэффициент при x^2 положителен (2>0), то парабола направлена вверх.

1. Для построения графика функции у= -1 f(x+2) + 2 сначала нужно определить сдвиг и отражение. В данном случае функция f(x) будет отражена относительно оси Oy (коэффициент перед f(x) отрицателен) и сдвинута влево на 2 единицы (значение в скобках). Таким образом, график функции f(x) будет сначала отражен, а затем сдвинут влево.

Эти шаги помогут построить график указанных функций и определить их основные свойства.

1. График функции у=2х2+8х+6 - это парабола, которая открывается вверх, вершина которой находится в точке (-2,2), и ось симметрии параллельна оси ординат.
2. График функции у= - 1 f ( x+2) + 2 - это график функции сдвинутой влево на 2 единицы и вверх на 2 единицы относительно графика функции f(x).

Давайте рассмотрим оба задания поочередно.

1. Построить график функции ( y = 2x^2 + 8x + 6 ) и определить ее свойства.

Эта функция является квадратичной и имеет вид ( y = ax^2 + bx + c ), где ( a = 2 ), ( b = 8 ), ( c = 6 ). Давайте разберем шаги для построения графика и определения его свойств.

Построение графика

1. Вершина параболы: Вершина параболы находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} ). Подставим значения: [ x = -\frac{8}{2 \times 2} = -2 ] Теперь найдем ( y )-координату вершины, подставив ( x = -2 ) в уравнение: [ y = 2(-2)^2 + 8(-2) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2 ] Таким образом, вершина параболы находится в точке ((-2, -2)).

2. Ось симметрии: Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину, ( x = -2 ).

3. Нахождение нулей функции: Для нахождения нулей функции решим квадратное уравнение ( 2x^2 + 8x + 6 = 0 ) с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \times 2 \times 6 = 64 - 48 = 16 ] Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 4}{4} ] [ x_1 = \frac{-8 + 4}{4} = -1, \quad x_2 = \frac{-8 - 4}{4} = -3 ] Таким образом, нули функции находятся в точках ( x = -1 ) и ( x = -3 ).

4. Построение графика: Построим график, отметив вершину, ось симметрии и нули функции. Парабола будет открыта вверх, так как ( a > 0 ).

Свойства функции

• Область определения: ( x \in (-\infty, +\infty) )
• Область значений: ( y \geq -2 )
• Вершина: ((-2, -2))
• Ось симметрии: ( x = -2 )
• Нули функции: ( x = -1 ) и ( x = -3 )
• Промежутки монотонности:
  • Убывает на ((-\infty, -2))
  • Возрастает на ((-2, +\infty))
• Минимум: ( y = -2 ) при ( x = -2 )

2. Построить график функции ( y = -\frac{1}{3}f(x+2) + 2 ).

В данном случае, функция ( y = -\frac{1}{3}f(x+2) + 2 ) описывает трансформацию некоторой базовой функции ( f(x) ).

Шаги построения с учетом трансформаций

1. Сдвиг на 2 единицы влево: ( f(x+2) ) — это сдвиг функции ( f(x) ) на 2 единицы влево.

2. Растяжение по вертикали: ( -\frac{1}{3}f(x+2) ) — это растяжение функции по вертикали с коэффициентом (-\frac{1}{3}), что также включает отражение относительно оси ( x ).

3. Сдвиг вверх на 2 единицы: ( -\frac{1}{3}f(x+2) + 2 ) — это сдвиг результата на 2 единицы вверх.

Поскольку конкретный вид функции ( f(x) ) не задан, мы можем только описать, как будет изменяться график любой базовой функции при этих трансформациях.

Общие свойства

• Отражение: График будет отражен относительно оси ( x ).
• Растяжение/Сжатие: График будет сжат по вертикали.
• Сдвиги: График смещен на 2 единицы влево и вверх.

Таким образом, для точного построения графика необходимо знать конкретное выражение для ( f(x) ).

Если у вас есть конкретная функция ( f(x) ), дайте знать, и я помогу с дальнейшим анализом.