1. Решите уравнение: а) x^2-6/x-3=x/x-3; б) x^2+2x-8/x^2-4=7/x+2 2. Решите графически уравнение 6/x=x+1...

1. а) Для начала упростим уравнение: x^2 - 6 / x - 3 = x / x - 3 (x^2 - 6) / (x - 3) = x / (x - 3) x^2 - 6 = x x^2 - x - 6 = 0 (x - 3)(x + 2) = 0 x = 3 или x = -2

б) Также упростим уравнение: (x^2 + 2x - 8) / (x^2 - 4) = 7 / (x + 2) (x + 4)(x - 2) / (x + 2)(x - 2) = 7 / (x + 2) (x + 4) = 7 x = 3

1. Графически решим уравнение 6/x = x + 1: 1) Перепишем уравнение в виде x + 1 = 6/x 2) Построим графики функций y = x + 1 и y = 6/x 3) Точка их пересечения будет являться решением данного уравнения 4) По графику найдем, что точка пересечения находится при x ≈ 2.5 Таким образом, решение уравнения 6/x = x + 1: x ≈ 2.5.

1. а) Приведем обе части уравнения к общему знаменателю (x-3): (x^2-6)/(x-3) = x/(x-3) x^2 - 6 = x x^2 - x - 6 = 0 (x-3)(x+2) = 0 x = 3 или x = -2

б) Приведем обе части уравнения к общему знаменателю (x^2-4): (x^2+2x-8)/(x^2-4) = 7/(x+2) (x+4)(x-2)/(x+2)(x-2) = 7/(x+2) (x+4)/(x+2) = 7/(x+2) x+4 = 7 x = 3

1. Построим график функций y = 6/x и y = x+1. Пересечение этих графиков будет являться решением уравнения 6/x = x+1. По графику найдем, что решением уравнения является x ≈ 2.

Давайте последовательно решим каждый из предложенных пунктов.

1. Решение уравнений

а) ( x^2 - \frac{6}{x} - 3 = \frac{x}{x} - 3 )

Сначала упростим уравнение. Так как (\frac{x}{x} = 1) для (x \neq 0), уравнение преобразуется в: [ x^2 - \frac{6}{x} - 3 = 1 - 3 ] [ x^2 - \frac{6}{x} - 3 = -2 ] [ x^2 - \frac{6}{x} - 1 = 0 ]

Для решения умножим все на (x) (при условии (x \neq 0)): [ x^3 - 6 - x = 0 ] [ x^3 - x - 6 = 0 ]

Попробуем найти рациональные корни. Проверим (x = -2, -1, 1, 2, 3):

• ( x = 1 ): ( 1^3 - 1 - 6 = -6 )
• ( x = 2 ): ( 2^3 - 2 - 6 = 0 ) (корень)
• ( x = 3 ): ( 3^3 - 3 - 6 = 18 )

Единственный рациональный корень здесь — (x = 2). Проверяем, подходит ли он в исходное уравнение: [ 2^2 - \frac{6}{2} - 3 = 1 ] [ 4 - 3 - 3 = -2 ] – верно.

б) ( \frac{x^2 + 2x - 8}{x^2 - 4} = \frac{7}{x + 2} )

Сначала упростим дроби: [ \frac{(x + 4)(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{7}{x + 2} ] При (x \neq 2) и (x \neq -2), сократим (x - 2): [ \frac{x + 4}{x + 2} = \frac{7}{x + 2} ]

После сокращения (x + 2) (при условии (x \neq -2)): [ x + 4 = 7 ] [ x = 3 ] Проверка подстановкой показывает, что (x = 3) подходит в исходное уравнение.

2. Графическое решение уравнения ( \frac{6}{x} = x + 1 )

Для графического решения нарисуем графики функций (y = \frac{6}{x}) и (y = x + 1).

• Функция (y = \frac{6}{x}) представляет собой гиперболу.
• Функция (y = x + 1) — прямая линия с углом наклона 45° и пересекающая ось y в точке (0,1).

Точка пересечения этих графиков дает решение уравнения. Заметим, что (x = 3) является решением, так как: [ \frac{6}{3} = 2 ] [ 3 + 1 = 4 ] Таким образом, на графике точка пересечения будет иметь координаты ((3, 2)).