Для нахождения координат точки пересечения графиков функций у=√x и у=x-2, решим уравнение √x = x-2. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: x = (x-2)^2. Разложим правую часть уравнения: x = x^2 - 4x + 4. Приведем подобные и перенесем все в одну сторону: x^2 - 5x + 4 = 0. Это квадратное уравнение имеет два корня: x1 = 1 и x2 = 4. Следовательно, точки пересечения графиков функций имеют координаты (1, √1) и (4, √4). Произведение этих координат равно 1*2=2.
Для того чтобы графики функций у=√x и у=ax-3 не пересекались, необходимо, чтобы у=√x была ниже графика у=ax-3. То есть, √x < ax-3. Подставим √x вместо у: x < (ax-3)^2. Разложим правую часть уравнения: x < a^2x^2 - 6ax + 9. Приведем квадратное уравнение к общему виду: a^2x^2 - 6ax + (9-x) > 0. Для того чтобы графики не пересекались, дискриминант этого уравнения должен быть отрицательным: D = 36a^2 - 4a^2(9-x) < 0. Упростим неравенство и найдем значения a, при которых графики не пересекаются: a > 1. Итак, при a > 1 графики функций у=√x и у=ax-3 не пересекаются.
Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций ( y = \sqrt{x} ) и ( y = x - 2 ), нужно приравнять их правые части:
[ \sqrt{x} = x - 2 ]
Решим это уравнение. Возведем обе части в квадрат:
[ x = (x - 2)^2 ]
Раскроем скобки:
[ x = x^2 - 4x + 4 ]
Перенесем все члены на одну сторону уравнения:
[ x^2 - 5x + 4 = 0 ]
Решим квадратное уравнение:
[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} ]
Получаем два корня:
[ x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 ]
Теперь найдем соответствующие значения ( y ) для каждого ( x ):
[ y = \sqrt{4} = 2 ]
[ y = \sqrt{1} = 1 ]
Таким образом, точки пересечения графиков — это ( (4, 2) ) и ( (1, 1) ).
Теперь найдем произведение координат одной из точек пересечения. Возьмем, например, точку ( (4, 2) ):
[ 4 \times 2 = 8 ]
Ответ: в) 8.
Теперь рассмотрим второй вопрос. Нам нужно определить, при каком значении параметра ( a ) графики функций ( y = \sqrt{x} ) и ( y = ax - 3 ) не пересекаются.
Приравняем функции, чтобы найти условия пересечения:
[ \sqrt{x} = ax - 3 ]
Возведем обе части в квадрат:
[ x = (ax - 3)^2 ]
Раскроем скобки:
[ x = a^2x^2 - 6ax + 9 ]
Перенесем все члены на одну сторону:
[ a^2x^2 - (6a + 1)x + 9 = 0 ]
Чтобы графики не пересекались, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть меньше нуля:
[ D = (6a + 1)^2 - 4 \cdot a^2 \cdot 9 < 0 ]
Упростим выражение для дискриминанта:
[ (6a + 1)^2 - 36a^2 = 36a^2 + 12a + 1 - 36a^2 = 12a + 1 < 0 ]
Решим неравенство:
[ 12a < -1 \quad \Rightarrow \quad a < -\frac{1}{12} ]
Таким образом, графики не пересекаются, если ( a < -\frac{1}{12} ), что соответствует варианту а) ( a < 0 ).
Ответ: а) ( a < 0 ).
