1. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных...

1. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков?

Для составления расписания учебного дня из 6 различных уроков из 9 предметов, нам нужно выбрать 6 предметов из 9 и расставить их в определённом порядке.

Сначала мы выбираем 6 предметов из 9. Это можно сделать ( \binom{9}{6} ) способами. Формула для числа сочетаний из n по k: [ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} ] где ( n! ) (n факториал) это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

Подставляя значения, получаем: [ \binom{9}{6} = \frac{9!}{6!3!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 ]

Теперь каждую выбранную группу из 6 предметов можно упорядочить ( 6! ) способами (6 факториал), так как порядок уроков важен. Это: [ 6! = 720 ]

Таким образом, итоговое количество способов составить расписание: [ 84 \times 720 = 60480 ]

Итак, расписание из 6 разных уроков можно составить 60,480 различными способами.

1. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (цифры в одном числе не должны повторяться)?

Пятизначное число, составленное из цифр 1, 2, 3, 4, 5, где цифры не повторяются, можно сформировать, выбирая первую цифру 5 возможными способами (так как она не может быть 0 и у нас всего 5 цифр), вторую цифру — 4 способами (остаётся 4 неиспользованные цифры), третью — 3 способами, четвёртую — 2 способами, и последнюю цифру — 1 способом.

Количество таких чисел будет равно произведению возможных вариантов выбора для каждой из пяти позиций: [ 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 ]

Таким образом, можно составить 120 различных пятизначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений.

1. Для составления расписания учебного дня из 6 уроков из 9 учебных предметов можно воспользоваться формулой для размещений без повторений:
   A(n, k) = n! / (n-k)!

Где n - количество элементов, k - количество выбираемых элементов.
В данном случае n = 9 (учебных предметов), k = 6 (уроков в расписании).
A(9, 6) = 9! / (9-6)! = 9! / 3! = 987 = 504.

Таким образом, можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков 504 способами.

1. Для составления пятизначного числа из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений можно воспользоваться формулой для размещений без повторений:
   A(n, k) = n! / (n-k)!

Где n - количество элементов, k - количество выбираемых элементов.
В данном случае n = 5 (цифры), k = 5 (разряды в пятизначном числе).
A(5, 5) = 5! / (5-5)! = 5! / 0! = 54321 = 120.

Таким образом, можно составить 120 различных пятизначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4, 5.