1. упростите выражение а) (3x^2 +y)(2y-5x^2) б) (7x-1)(x^2-4x+2) в) (a^2+b^2)(2a-b)-ab(b-a) г) -8p(p+3)(2-p^2)...

1. а) (3x^2 + y)(2y - 5x^2) = 6xy - 15x^4 + 2y^2 - 5x^2y б) (7x - 1)(x^2 - 4x + 2) = 7x^3 - 28x^2 + 14x - x^2 + 4x - 2 в) (a^2 + b^2)(2a - b) - ab(b - a) = 2a^3 - a^2b + 2ab^2 - b^3 - ab + a^2b = 2a^3 + 2ab^2 - b^3 - ab г) -8p(p + 3)(2 - p^2) = -16p^2 + 8p^4 + 24p - 12p^3

2. а) 2x^5 + 5x^4 - 2x^2 - 5x = x(2x^4 + 5x^3 - 2x - 5) б) 3a - 3b + (a - b)^2 = 3a - 3b + (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 + b^2 - 2ab + 3a - 3b

1. Докажем это тождество путем умножения правой части: (x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) = x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = x^5 + 1

Таким образом, тождество доказано.

Конечно! Давайте разберем каждый из этих вопросов.

1. Упростите выражение:

а) ((3x^2 + y)(2y - 5x^2))

Раскроем скобки, применяя распределительное свойство:

[ (3x^2 + y)(2y - 5x^2) = 3x^2 \cdot 2y + 3x^2 \cdot (-5x^2) + y \cdot 2y + y \cdot (-5x^2) ]

[ = 6x^2y - 15x^4 + 2y^2 - 5yx^2 ]

Упростим, сгруппировав подобные члены:

[ = -15x^4 + (6x^2y - 5x^2y) + 2y^2 ]

[ = -15x^4 + x^2y + 2y^2 ]

б) ((7x - 1)(x^2 - 4x + 2))

Раскроем скобки:

[ (7x - 1)(x^2 - 4x + 2) = 7x \cdot x^2 + 7x \cdot (-4x) + 7x \cdot 2 - 1 \cdot x^2 - 1 \cdot (-4x) - 1 \cdot 2 ]

[ = 7x^3 - 28x^2 + 14x - x^2 + 4x - 2 ]

Упростим, сгруппировав подобные члены:

[ = 7x^3 - 29x^2 + 18x - 2 ]

в) ((a^2 + b^2)(2a - b) - ab(b - a))

Раскроем скобки:

[ (a^2 + b^2)(2a - b) = a^2 \cdot 2a + a^2 \cdot (-b) + b^2 \cdot 2a + b^2 \cdot (-b) ]

[ = 2a^3 - a^2b + 2ab^2 - b^3 ]

Раскроем вторую часть:

[ -ab(b - a) = -ab^2 + a^2b ]

Теперь сложим полученные выражения:

[ 2a^3 - a^2b + 2ab^2 - b^3 - ab^2 + a^2b ]

Упростим, сгруппировав подобные члены:

[ = 2a^3 + (a^2b - a^2b) + ab^2 - b^3 ]

[ = 2a^3 + ab^2 - b^3 ]

г) (-8p(p+3)(2-p^2))

Раскроем скобки:

[ -8p(p + 3)(2 - p^2) = -8p[(p \cdot 2) - (p \cdot p^2) + (3 \cdot 2) - (3 \cdot p^2)] ]

[ = -8p(2p - p^3 + 6 - 3p^2) ]

Теперь раскроем главные скобки:

[ = -8p \cdot 2p + 8p \cdot p^3 - 8p \cdot 6 + 8p \cdot 3p^2 ]

[ = -16p^2 + 8p^4 - 48p + 24p^3 ]

2. Разложите на множители:

а) (2x^5 + 5x^4 - 2x^2 - 5x)

Вынесем общий множитель:

[ x(2x^4 + 5x^3 - 2x - 5) ]

Теперь попробуем разложить многочлен внутри скобок, используя метод группировки:

[ = x[(2x^4 + 5x^3) - (2x + 5)] ]

Вынесем общий множитель из каждой группы:

[ = x[x^3(2x + 5) - 1(2x + 5)] ]

Вынесем общий множитель ((2x + 5)):

[ = x(x^3 - 1)(2x + 5) ]

Заметим, что (x^3 - 1) можно разложить как разность кубов:

[ = x(x - 1)(x^2 + x + 1)(2x + 5) ]

б) (3a - 3b + (a - b)^2)

Раскроем квадрат разности:

[ = 3a - 3b + (a^2 - 2ab + b^2) ]

[ = a^2 - 2ab + b^2 + 3a - 3b ]

Попробуем сгруппировать:

[ = a^2 + 3a - 2ab + b^2 - 3b ]

Теперь попробуем разложить на множители:

[ = (a^2 + 3a) - (2ab - b^2) - 3b ]

Вынесем общий множитель:

[ = a(a + 3) - b(2a - b) - 3b ]

Объединим термины:

[ = (a + b)(a - b) + 3(a - b) ]

Вынесем общий множитель ((a - b)):

[ = (a - b)(a + b + 3) ]

3. Докажите тождество:

[ x^5 + 1 = (x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) ]

Для доказательства раскроем правую часть:

[ (x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) = x(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) + 1(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) ]

Раскрываем скобки:

[ = x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 ]

Сгруппируем подобные члены:

[ = x^5 + ( - x^4 + x^4) + (x^3 - x^3) + ( - x^2 + x^2) + (x - x) + 1 ]

[ = x^5 + 1 ]

Таким образом, тождество доказано.