1. Выполнить деление многочлена x^4 + 3x^3 − 21x^2 − 43x + 60 на многочлен x^2 + 2x − 3

Чтобы выполнить деление многочлена ( x^4 + 3x^3 − 21x^2 − 43x + 60 ) на многочлен ( x^2 + 2x − 3 ), мы можем использовать метод деления столбиком для многочленов. Вот пошаговое объяснение процесса:

1. Записываем деление в столбик: [ \frac{x^4 + 3x^3 - 21x^2 - 43x + 60}{x^2 + 2x - 3} ]

2. Ищем первую часть частного: Берем первую часть делимого ( x^4 ) и делим на первую часть делителя ( x^2 ): [ x^4 \div x^2 = x^2 ] Это первая часть частного.

3. Умножаем первую часть частного на делитель и вычитаем из делимого: [ (x^2) \cdot (x^2 + 2x - 3) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 ] Вычитаем из ( x^4 + 3x^3 - 21x^2 ): [ (x^4 + 3x^3 - 21x^2) - (x^4 + 2x^3 - 3x^2) = x^3 - 18x^2 - 43x + 60 ]

4. Ищем вторую часть частного: Берем первую часть оставшегося делимого ( x^3 ) и делим на первую часть делителя ( x^2 ): [ x^3 \div x^2 = x ] Это вторая часть частного.

5. Умножаем вторую часть частного на делитель и вычитаем: [ (x) \cdot (x^2 + 2x - 3) = x^3 + 2x^2 - 3x ] Вычитаем из ( x^3 - 18x^2 - 43x + 60 ): [ (x^3 - 18x^2 - 43x + 60) - (x^3 + 2x^2 - 3x) = -20x^2 - 40x + 60 ]

6. Ищем третью часть частного: Берем первую часть оставшегося делимого ( -20x^2 ) и делим на первую часть делителя ( x^2 ): [ -20x^2 \div x^2 = -20 ] Это третья часть частного.

7. Умножаем третью часть частного на делитель и вычитаем: [ (-20) \cdot (x^2 + 2x - 3) = -20x^2 - 40x + 60 ] Вычитаем из ( -20x^2 - 40x + 60 ): [ (-20x^2 - 40x + 60) - (-20x^2 - 40x + 60) = 0 ]

8. Результат деления: Частное: [ x^2 + x - 20 ] Остаток: [ 0 ]

Таким образом, результат деления многочлена ( x^4 + 3x^3 − 21x^2 − 43x + 60 ) на многочлен ( x^2 + 2x − 3 ) равен ( x^2 + x - 20 ) без остатка.

Для выполнения деления многочленов x^4 + 3x^3 − 21x^2 − 43x + 60 на многочлен x^2 + 2x − 3 воспользуемся методом деления многочленов.

1. Сначала выполним деление первого члена x^4 на первый член x^2: x^4 / x^2 = x^2

2. Умножим полученный результат x^2 на делитель x^2 + 2x − 3: x^2(x^2 + 2x − 3) = x^4 + 2x^3 − 3x^2

3. Вычтем полученное произведение из делимого: (x^4 + 3x^3 − 21x^2 − 43x + 60) - (x^4 + 2x^3 − 3x^2) = x^3 - 18x^2 - 43x + 60

4. Повторим процесс для полученного многочлена x^3 - 18x^2 - 43x + 60: x^3 / x^2 = x

5. Умножим полученный результат x на делитель x^2 + 2x − 3: x(x^2 + 2x − 3) = x^3 + 2x^2 − 3x

6. Вычтем полученное произведение из предыдущего остатка: (x^3 - 18x^2 - 43x + 60) - (x^3 + 2x^2 - 3x) = -20x^2 - 40x + 60

7. Повторим процесс для полученного многочлена -20x^2 - 40x + 60: -20x^2 / x^2 = -20

8. Умножим полученный результат -20 на делитель x^2 + 2x − 3: -20(x^2 + 2x − 3) = -20x^2 - 40x + 60

9. Вычтем полученное произведение из предыдущего остатка: (-20x^2 - 40x + 60) - (-20x^2 - 40x + 60) = 0

Таким образом, результат деления многочлена x^4 + 3x^3 − 21x^2 − 43x + 60 на многочлен x^2 + 2x − 3 равен x^2 + x - 20, а остаток равен 0.

Решение: Для деления многочленов необходимо разделить старшие члены обоих многочленов. Результатом будет x^2 + x - 20.