-14x+7tgx+7pi/2+11 Наименьшее значение на отрезке [-pi/3;pi/3]

Наименьшее значение на отрезке [-pi/3;pi/3] равно -7-7pi/2.

Для нахождения наименьшего значения функции -14x + 7tan(x) + 7π/2 + 11 на отрезке [-π/3; π/3] нужно найти критические точки данной функции внутри данного отрезка.

Для этого сначала найдем производную функции: f'(x) = -14 + 7(1 + tan^2(x)).

Затем найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: -14 + 7(1 + tan^2(x)) = 0. Получаем: tan^2(x) = 1. Отсюда: tan(x) = ±1, x = π/4, -π/4.

Теперь найдем значения функции в найденных критических точках и на границах отрезка: f(-π/3) = -14(-π/3) + 7tan(-π/3) + 7π/2 + 11 ≈ 48.33, f(-π/4) = -14(-π/4) + 7tan(-π/4) + 7π/2 + 11 ≈ 48.33, f(π/3) = -14(π/3) + 7tan(π/3) + 7π/2 + 11 ≈ 2.57.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-π/3; π/3] равно примерно 2.57.

Чтобы найти наименьшее значение функции ( f(x) = -14x + 7 \tan x + \frac{7\pi}{2} + 11 ) на отрезке ([- \frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]), следуем следующим шагам:

1. Проверка концов отрезка: Вычислим значение функции в концах отрезка.

   • Для ( x = -\frac{\pi}{3} ): [ f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -14\left(-\frac{\pi}{3}\right) + 7 \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \frac{7\pi}{2} + 11 ] [ = \frac{14\pi}{3} - 7 \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \frac{7\pi}{2} + 11 ] [ = \frac{14\pi}{3} + \frac{7\sqrt{3}}{3} + \frac{7\pi}{2} + 11 ]

   • Для ( x = \frac{\pi}{3} ): [ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = -14\left(\frac{\pi}{3}\right) + 7 \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) + \frac{7\pi}{2} + 11 ] [ = -\frac{14\pi}{3} + 7 \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{7\pi}{2} + 11 ] [ = -\frac{14\pi}{3} + \frac{7\sqrt{3}}{3} + \frac{7\pi}{2} + 11 ]

2. Анализ критических точек: Найдем производную и решим уравнение ( f'(x) = 0 ).

   [ f'(x) = \frac{d}{dx} \left(-14x + 7 \tan x\right) = -14 + 7 \sec^2 x ] Уравнение ( f'(x) = 0 ) эквивалентно: [ -14 + 7 \sec^2 x = 0 ] [ \sec^2 x = 2 \quad \Rightarrow \quad \cos^2 x = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} ]

   На отрезке ([- \frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]), это условие выполняется при ( x = \pm \frac{\pi}{4} ).

3. Проверка критических точек:

   • Для ( x = \frac{\pi}{4} ): [ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = -14\left(\frac{\pi}{4}\right) + 7 \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{7\pi}{2} + 11 ] [ = -\frac{14\pi}{4} + 7 \cdot 1 + \frac{7\pi}{2} + 11 ] [ = -\frac{7\pi}{2} + 7 + \frac{7\pi}{2} + 11 ] [ = 18 ]

   • Для ( x = -\frac{\pi}{4} ): [ f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -14\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 7 \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \frac{7\pi}{2} + 11 ] [ = \frac{14\pi}{4} - 7 \cdot (-1) + \frac{7\pi}{2} + 11 ] [ = \frac{7\pi}{2} + 7 + \frac{7\pi}{2} + 11 ] [ = \frac{7\pi}{2} + 18 ]

4. Сравнение значений: Сравниваем значения функции в концах отрезка и в критических точках:

   • ( f\left(-\frac{\pi}{3}\right) ), ( f\left(\frac{\pi}{3}\right) ), ( f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 18 ), ( f\left(-\frac{\pi}{4}\right) ).

Наименьшее значение функции на данном отрезке равно 18 и достигается при ( x = \frac{\pi}{4} ).