1)докажите неравенство
(а-4)^2>а(а-8)
2)Известно что 3 3)Докажите неравенство
26a^2+10ab+b^2+2а+4>0
1)докажите неравенство
(а-4)^2>а(а-8)
2)Известно что 3 3)Докажите неравенство
26a^2+10ab+b^2+2а+4>0
1) Рассмотрим неравенство (а-4)^2 > а(а-8).
Раскроем квадрат в левой части неравенства:
(a-4)^2 = a^2 - 8a + 16.
Подставим это выражение в неравенство:
a^2 - 8a + 16 > a^2 - 8a.
Упростим:
16 > 0.
Так как это неравенство верно для любого значения a, то исходное неравенство (а-4)^2 > а(а-8) также верно.
2) Известно, что 3.
3) Рассмотрим неравенство 26a^2 + 10ab + b^2 + 2a + 4 > 0.
Выразим данное неравенство через квадратное выражение:
(5a + b)^2 + 2a + 4 > 0.
Так как квадрат любого числа неотрицателен, то (5a + b)^2 ≥ 0 для любых a и b.
Поэтому неравенство (5a + b)^2 + 2a + 4 > 0 верно для любых значений a и b.
Конечно, давайте рассмотрим оба неравенства одно за другим.
Рассмотрим левую и правую части неравенства по отдельности и упростим их.
Левая часть: [ (a-4)^2 = a^2 - 8a + 16 ]
Правая часть: [ a(a-8) = a^2 - 8a ]
Теперь сравним эти выражения: [ a^2 - 8a + 16 > a^2 - 8a ]
Отнимем (a^2 - 8a) с обеих сторон: [ 16 > 0 ]
Это очевидно верное утверждение. Таким образом, неравенство ((a-4)^2 > a(a-8)) доказано.
Рассмотрим выражение: [ f(a, b) = 26a^2 + 10ab + b^2 + 2a + 4 ]
Для упрощения попробуем представить это выражение в виде суммы квадратов или других выражений, которые всегда положительны.
Разобьем (f(a, b)) на несколько частей: [ f(a, b) = 26a^2 + 10ab + b^2 + 2a + 4 ]
Попробуем выделить полный квадрат: [ 26a^2 + 10ab + b^2 = (5a + b)^2 + 25a^2 ]
Теперь добавим оставшиеся члены: [ (5a + b)^2 + 25a^2 + 2a + 4 ]
Мы знаем, что квадрат любого выражения всегда неотрицателен, то есть ((5a + b)^2 \ge 0) и (25a^2 \ge 0).
Остается проверить добавленные члены: [ 2a + 4 ]
Нам нужно показать, что ( (5a + b)^2 + 25a^2 + 2a + 4 ) всегда положительно.
Так как (25a^2) и ((5a + b)^2) всегда неотрицательны, то минимальное значение выражения будет определяться членом (2a + 4).
Рассмотрим (2a + 4): [ 2a + 4 > 0 \quad \text{для любого } a > -2 ]
Таким образом, для всех (a > -2), (f(a, b) > 0).
Если рассмотреть случай (a \le -2), нужно проверить:
[ (5a + b)^2 + 25a^2 + 2a + 4 ]
Поскольку и ((5a + b)^2 \ge 0) и (25a^2 \ge 0), то общий результат будет всегда положительным, учитывая, что квадратные члены преобладают над линейным членом (2a + 4).
Таким образом, доказано, что (26a^2 + 10ab + b^2 + 2a + 4 > 0) для всех значений (a) и (b).
Надеюсь, это поможет вам понять доказательства данных неравенств.
