1)Найдите девятый член последовательности уn = n²+ 2 ; n - 7 2) Найдите пятый член последовательности заданной рекуррентным способом у1 = ½, уn = 2y n-1 (n = 2,3,4,5,…).3) Подберите формулу n- го члена последовательности - 2; 4; - 6; 8; -10;… 2 5 8 11 144) Сколько членов последовательности 3, 6, 9, 12,….меньше числа 95?5) у1 = 2, у2 = 1, уn = 2y n-2 + 3 y n-1 (n = 3,4,5,…).Найдите n, если известно, что уn = 83.
1) Девятый член последовательности уn = n² + 2; n - 7: у9 = 9² + 2 = 83 2) Пятый член последовательности заданной рекуррентным способом: у5 = 2(2(2(2(½)))) = 8 3) Формула n-го члена последовательности: уn = (-1)^(n+1)(n+1) 4) Число членов последовательности 3, 6, 9, 12,… меньше 95: 31 5) Найденное n для уn = 83: уn = 2у n-2 + 3у n-1; уn = 2(2) + 3(1) = 7; n = 7
1) Для нахождения девятого члена последовательности уn = n² + 2; n - 7 подставим n = 9: у9 = 9² + 2 = 81 + 2 = 83.
2) Для нахождения пятого члена последовательности, заданной рекуррентным способом у1 = ½, уn = 2у n-1 (n = 2,3,4,5,…), найдем последовательные члены: у2 = 2 (1/2) = 1, у3 = 2 1 = 2, у4 = 2 2 = 4, у5 = 2 4 = 8.
3) Формула n-го члена последовательности - 2; 4; - 6; 8; -10;… 2 5 8 11 14: уn = (-1)^(n+1) * (2n).
4) Для нахождения количества членов последовательности 3, 6, 9, 12,… меньше числа 95, разделим 95 на разность членов последовательности: 95 / 3 = 31.666. Поскольку это нецелое число, берем целую часть - 31. Значит, 31 член последовательности меньше числа 95.
5) Для нахождения n, если у1 = 2, у2 = 1, уn = 2у n-2 + 3у n-1 (n = 3,4,5,…), и известно, что уn = 83, найдем последовательные члены: у3 = 2 2 + 3 1 = 4 + 3 = 7, у4 = 2 1 + 3 7 = 2 + 21 = 23, у5 = 2 7 + 3 23 = 14 + 69 = 83. Таким образом, n = 5.
Для нахождения девятого члена последовательности подставим ( n = 9 ):
[ u_9 = 9^2 + 2 = 81 + 2 = 83 ]
Девятый член последовательности равен 83.
Используем рекуррентную формулу для вычисления последующих членов:
[ u_2 = 2u_1 = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 ] [ u_3 = 2u_2 = 2 \cdot 1 = 2 ] [ u_4 = 2u_3 = 2 \cdot 2 = 4 ] [ u_5 = 2u_4 = 2 \cdot 4 = 8 ]
Пятый член последовательности равен 8.
Рассмотрим последовательность: -2, 4, -6, 8, -10, .
Обратим внимание на чередование знаков и на значения. Для четных номеров чередуются положительные и отрицательные числа, а их абсолютные значения увеличиваются на 2. Введем ( n ). Для четных номеров:
[ u_n = (-1)^n \cdot 2n ]
Но так как у нас члены не начинаются с 1, а с -2, нужно скорректировать формулу:
[ u_n = (-1)^n \cdot 2n ]
Последовательность является арифметической прогрессией с первым членом ( a = 3 ) и разностью ( d = 3 ).
Общий член арифметической прогрессии задается формулой:
[ u_n = a + (n-1)d ]
Для нахождения количества членов последовательности, меньших 95, решим неравенство:
[ 3 + (n-1) \cdot 3 < 95 ] [ 3 + 3n - 3 < 95 ] [ 3n < 95 ] [ n < \frac{95}{3} ] [ n < 31.67 ]
Таким образом, ( n ) может быть максимум 31. Следовательно, количество членов последовательности, меньших 95, равно 31.
Будем последовательно находить члены последовательности:
[ u_3 = 2u_1 + 3u_2 = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 4 + 3 = 7 ] [ u_4 = 2u_2 + 3u_3 = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 7 = 2 + 21 = 23 ] [ u_5 = 2u_3 + 3u_4 = 2 \cdot 7 + 3 \cdot 23 = 14 + 69 = 83 ]
Таким образом, ( u_5 = 83 ). Следовательно, ( n = 5 ).
