1.Упростить: а) sin(5п/2+a); б) cos(3п/2+a); в) sin(7п/2-a) 2. Вычислить: 3cos(7п/2+a) +2 sin(17п-a),...

Разберём каждый пункт подробно:

1. Упростить:

а) ( \sin\left(\frac{5\pi}{2} + a\right) )

Начнём с упрощения аргумента ( \frac{5\pi}{2} ). Напомним, что синус — периодическая функция с периодом ( 2\pi ). Поэтому: [ \sin\left(\frac{5\pi}{2} + a\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{2} - 2\pi + a\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + a\right). ]

Теперь применим формулу приведения для ( \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) ), которая даёт: [ \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x. ]

Следовательно: [ \sin\left(\frac{5\pi}{2} + a\right) = \cos a. ]

б) ( \cos\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) )

Аналогично, используем периодичность косинуса (( \cos(x + 2\pi) = \cos x )): [ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + a - 2\pi\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2} + a\right). ]

Применяем формулу приведения для ( \cos\left(-\frac{\pi}{2} + x\right) ), которая равна: [ \cos\left(-\frac{\pi}{2} + x\right) = \sin x. ]

Следовательно: [ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) = \sin a. ]

в) ( \sin\left(\frac{7\pi}{2} - a\right) )

Используем периодичность синуса (( \sin(x + 2\pi) = \sin x )): [ \sin\left(\frac{7\pi}{2} - a\right) = \sin\left(\frac{7\pi}{2} - 2\pi - a\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} - a\right). ]

Применяем формулу приведения для ( \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) ), которая равна: [ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos x. ]

Следовательно: [ \sin\left(\frac{7\pi}{2} - a\right) = -\cos a. ]

2. Вычислить:

( 3\cos\left(\frac{7\pi}{2} + a\right) + 2\sin\left(17\pi - a\right), ) если ( \sin a = -0,2 ).

Для начала упростим аргументы.

а) Разберём ( \cos\left(\frac{7\pi}{2} + a\right) ). Уже было показано выше, что: [ \cos\left(\frac{7\pi}{2} + a\right) = \sin a. ]

б) Теперь упростим ( \sin\left(17\pi - a\right) ). Заметим, что ( 17\pi = 8 \cdot 2\pi + \pi ), т.е. ( 17\pi = \pi \pmod{2\pi} ). Тогда: [ \sin\left(17\pi - a\right) = \sin\left(\pi - a\right). ]

По формуле приведения: [ \sin\left(\pi - x\right) = \sin x. ]

Следовательно: [ \sin\left(17\pi - a\right) = \sin(-a). ]

А так как ( \sin(-x) = -\sin x ), то: [ \sin\left(17\pi - a\right) = -\sin a. ]

Теперь подставляем всё в исходное выражение: [ 3\cos\left(\frac{7\pi}{2} + a\right) + 2\sin\left(17\pi - a\right) = 3\sin a + 2(-\sin a). ]

Считаем: [ 3\sin a - 2\sin a = \sin a. ]

Подставляем ( \sin a = -0,2 ): [ \sin a = -0,2. ]

Итог: [ 3\cos\left(\frac{7\pi}{2} + a\right) + 2\sin\left(17\pi - a\right) = -0,2. ]

3. Доказать равенство:

[ \frac{3\cos 50^\circ - 4\sin 140^\circ}{\cos 130^\circ} = 1. ]

Сначала упростим числитель.

а) Рассмотрим ( \cos 50^\circ ). Без изменений.

б) Преобразуем ( \sin 140^\circ ). Заметим, что: [ \sin 140^\circ = \sin(180^\circ - 40^\circ). ]

По формуле приведения: [ \sin(180^\circ - x) = \sin x. ]

Следовательно: [ \sin 140^\circ = \sin 40^\circ. ]

Теперь числитель равен: [ 3\cos 50^\circ - 4\sin 140^\circ = 3\cos 50^\circ - 4\sin 40^\circ. ]

В знаменателе ( \cos 130^\circ ). Заметим, что: [ \cos 130^\circ = \cos(180^\circ - 50^\circ). ]

По формуле приведения: [ \cos(180^\circ - x) = -\cos x. ]

Следовательно: [ \cos 130^\circ = -\cos 50^\circ. ]

Теперь выражение становится: [ \frac{3\cos 50^\circ - 4\sin 40^\circ}{-\cos 50^\circ}. ]

Разделим числитель на ( -\cos 50^\circ ): [ \frac{3\cos 50^\circ - 4\sin 40^\circ}{-\cos 50^\circ} = \frac{3\cos 50^\circ}{-\cos 50^\circ} - \frac{4\sin 40^\circ}{-\cos 50^\circ}. ]

Упрощаем каждую дробь: [ \frac{3\cos 50^\circ}{-\cos 50^\circ} = -3, ] [ \frac{-4\sin 40^\circ}{-\cos 50^\circ} = +4\tan 40^\circ. ]

Теперь выражение равно: [ -3 + 4\tan 40^\circ. ]

Применим тригонометрическое тождество: ( \tan 40^\circ = \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} ). Заметим, что данное равенство требует преобраз.

Давайте рассмотрим каждую из частей вашего запроса по порядку.

1. Упростить выражения:

а) ( \sin\left(\frac{5\pi}{2} + a\right) )

Для упрощения этого выражения воспользуемся свойством периодичности синуса:

[ \sin\left(\frac{5\pi}{2} + a\right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2} + a\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + a\right) ]

Используя формулу для синуса суммы:

[ \sin\left(\frac{\pi}{2} + a\right) = \cos(a) ]

Таким образом, получаем:

[ \sin\left(\frac{5\pi}{2} + a\right) = \cos(a) ]

б) ( \cos\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) )

Аналогично, применим свойство периодичности косинуса:

[ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{2} + a\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2} + a\right) ]

Используя формулу для косинуса суммы:

[ \cos\left(-\frac{\pi}{2} + a\right) = \sin(a) ]

Таким образом, получаем:

[ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) = \sin(a) ]

в) ( \sin\left(\frac{7\pi}{2} - a\right) )

Применим аналогичный метод:

[ \sin\left(\frac{7\pi}{2} - a\right) = \sin\left(3\pi + \frac{\pi}{2} - a\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - a\right) ]

Используя формулу для синуса разности:

[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - a\right) = \cos(a) ]

Таким образом, получаем:

[ \sin\left(\frac{7\pi}{2} - a\right) = \cos(a) ]

2. Вычислить ( 3\cos\left(\frac{7\pi}{2} + a\right) + 2\sin\left(17\pi - a\right) ), если ( \sin a = -0,2 ).

Сначала упростим ( \cos\left(\frac{7\pi}{2} + a\right) ):

[ \cos\left(\frac{7\pi}{2} + a\right) = \cos\left(3\pi + \frac{\pi}{2} + a\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right) = -\sin(a) ]

Так как ( \sin a = -0,2 ):

[ \cos\left(\frac{7\pi}{2} + a\right) = -(-0,2) = 0,2 ]

Теперь упростим ( \sin\left(17\pi - a\right) ):

[ \sin\left(17\pi - a\right) = -\sin(-a) = \sin(a) = -0,2 ]

Теперь подставим значения в выражение:

[ 3\cos\left(\frac{7\pi}{2} + a\right) + 2\sin\left(17\pi - a\right) = 3(0,2) + 2(-0,2) = 0,6 - 0,4 = 0,2 ]

Ответ:

[ 3\cos\left(\frac{7\pi}{2} + a\right) + 2\sin\left(17\pi - a\right) = 0,2 ]

3. Доказать равенство:

[ \frac{3\cos(50^\circ) - 4\sin(140^\circ)}{\cos(130^\circ)} = 1 ]

Сначала упростим числитель. Заменим ( \sin(140^\circ) ):

[ \sin(140^\circ) = \sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin(40^\circ) ]

Теперь подставим это значение:

[ 3\cos(50^\circ) - 4\sin(140^\circ) = 3\cos(50^\circ) - 4\sin(40^\circ) ]

Используем соотношение между синусом и косинусом:

[ \sin(40^\circ) = \cos(50^\circ) ]

Теперь подставим:

[ = 3\cos(50^\circ) - 4\cos(50^\circ) = -\cos(50^\circ) ]

Теперь вычислим знаменатель:

[ \cos(130^\circ) = -\sin(40^\circ) ]

Теперь подставим в выражение:

[ \frac{-\cos(50^\circ)}{-\sin(40^\circ)} = \frac{\cos(50^\circ)}{\sin(40^\circ)} ]

Мы знаем, что ( \sin(40^\circ) = \cos(50^\circ) ), тогда:

[ \frac{\cos(50^\circ)}{\cos(50^\circ)} = 1 ]

Таким образом, мы получили:

[ \frac{3\cos(50^\circ) - 4\sin(140^\circ)}{\cos(130^\circ)} = 1 ]

Ответы:

1. а) ( \cos(a) ); б) ( \sin(a) ); в) ( \cos(a) )
2. ( 0,2 )
3. Доказано, что равенство верно.