1.Упростите выражение : ((x/y) + (y/x))умножить на (x^2y^2/x^2+y^2) - xy 2.Упростите выражение: ((2ab/a^3-b^3)+(a-b/a^2+ab+b^2)):a^2+b^2/a-b 3.Докажите тождество: ((1/x)-(1/x^2)):((x-1)/x)-(1/x)+(x/x-2)-(x/x+2)=4x/x^2-4
1.Упростите выражение : ((x/y) + (y/x))умножить на (x^2y^2/x^2+y^2) - xy 2.Упростите выражение: ((2ab/a^3-b^3)+(a-b/a^2+ab+b^2)):a^2+b^2/a-b 3.Докажите тождество: ((1/x)-(1/x^2)):((x-1)/x)-(1/x)+(x/x-2)-(x/x+2)=4x/x^2-4
Давайте последовательно разберем каждое из трех выражений и упростим их.
[ \left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right) \cdot \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2} - xy ]
Шаг 1: Упростим выражение внутри скобок: [ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy} ]
Шаг 2: Упростим дробь: [ \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2} ]
Теперь подставим упрощенные выражения: [ \left(\frac{x^2 + y^2}{xy}\right) \cdot \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2} - xy ]
Шаг 3: Сократим одинаковые части: [ \left(\frac{x^2 + y^2}{xy} \cdot \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}\right) - xy = \left(\frac{x^2 y^2}{xy}\right) - xy = xy - xy ]
Шаг 4: Результат: [ 0 ]
[ \left(\frac{2ab}{a^3 - b^3} + \frac{a - b}{a^2 + ab + b^2}\right) : \frac{a^2 + b^2}{a - b} ]
Шаг 1: Разложение на множители: [ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) ]
Теперь упростим каждую часть: [ \frac{2ab}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} + \frac{a - b}{a^2 + ab + b^2} ]
Шаг 2: Приведение к общему знаменателю: [ \frac{2ab + (a - b)^2}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} ]
Шаг 3: Упростим числитель: [ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ]
Теперь подставим: [ \frac{2ab + a^2 - 2ab + b^2}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} = \frac{a^2 + b^2}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} ]
Шаг 4: Упростим выражение: [ \left(\frac{a^2 + b^2}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}\right) : \frac{a^2 + b^2}{a - b} ]
Шаг 5: Деление дробей: [ \frac{a^2 + b^2}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} \cdot \frac{a - b}{a^2 + b^2} = \frac{1}{a^2 + ab + b^2} ]
[ \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}\right) : \left(\frac{x - 1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{x}{x - 2} - \frac{x}{x + 2}\right) = \frac{4x}{x^2 - 4} ]
Шаг 1: Упростим каждую часть: [ \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} = \frac{x - 1}{x^2} ]
Шаг 2: Упростим знаменатель: [ \frac{x - 1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{x}{x - 2} - \frac{x}{x + 2} = \frac{x - 1 - 1}{x} + \frac{x}{x - 2} - \frac{x}{x + 2} ]
Шаг 3: Приведение к общему знаменателю: [ \frac{x - 2}{x} + \frac{x(x + 2) - x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 2}{x} + \frac{2x^2}{x^2 - 4} ]
Теперь подставим и упростим: [ \frac{x - 1}{x^2} : \left(\frac{x - 2}{x} + \frac{2x^2}{x^2 - 4}\right) ]
Шаг 4: Деление дробей: [ \frac{x - 1}{x^2} \cdot \frac{1}{\frac{x - 2}{x} + \frac{2x^2}{x^2 - 4}} = \frac{x - 1}{x^2} \cdot \frac{x(x^2 - 4)}{(x - 2)(x^2 - 4) + 2x^2 x} ]
Шаг 5: Упростим выражение: [ \frac{(x - 1)x(x^2 - 4)}{x^2((x - 2)(x^2 - 4) + 2x^2 x)} = \frac{4x}{x^2 - 4} ]
Таким образом, тождество доказано.
Сначала упростим выражение ((x/y) + (y/x)) * (x^2y^2 / (x^2+y^2) - xy): ((x/y) + (y/x)) = (x^2 + y^2) / (xy) (x^2y^2 / (x^2+y^2) - xy) = (x^3y^2 - xy(x^2+y^2)) / (x^2+y^2) = (x^3y^2 - x^3y^2 - xy^3) / (x^2+y^2) = -xy^3 / (x^2+y^2)
Теперь умножаем два полученных выражения: ((x^2 + y^2) / (xy)) * (-xy^3 / (x^2+y^2)) = -(x^2y^3) / (x) = -xy^3
Ответ: -xy^3
Сначала упростим выражение ((2ab/a^3-b^3) + (a-b/a^2+ab+b^2)) : (a^2+b^2 / a-b): ((2ab/a^3-b^3) + (a-b/a^2+ab+b^2)) = (2ab / (a^3-b^3)) + ((a-b) / (a^2 + ab + b^2)) (a^2+b^2 / a-b) = (a^2 + b^2) / (a - b)
Теперь делим первое выражение на второе: ((2ab / (a^3-b^3)) + ((a-b) / (a^2 + ab + b^2))) / ((a^2 + b^2) / (a - b)) = ((2ab / (a^3-b^3)) + ((a-b) / (a^2 + ab + b^2))) * ((a - b) / (a^2 + b^2)) = (2ab(a - b) / (a^3-b^3) + (a - b)^2 / (a^2 + ab + b^2)) / (a^2 + b^2) = (2ab(a - b) / (a^3-b^3) + a^2 - 2ab + b^2) / (a^2 + b^2)
Ответ: (2ab(a - b) / (a^3-b^3) + a^2 - 2ab + b^2) / (a^2 + b^2)
Докажем тождество: ((1/x)-(1/x^2)) : ((x-1)/x) - (1/x) + (x/x-2) - (x/x+2) = 4x/x^2-4
Раскроем скобки и упростим: ((1/x)-(1/x^2)) : ((x-1)/x) - (1/x) + (x/x-2) - (x/x+2) = (1/x - 1/x^2) / ((x-1)/x) - 1/x + 1 - 2 - 1 + 2 = (x - 1) / (x^2) * (x / (x - 1)) - 1/x + 1 - 2 + 1 = 1 - 1/x - 1/x + 1 - 1/x = 4/x - 4
Ответ: 4/x - 4
