1.Выполните деление многочлена 2x^3-5x^2-33x-15 на многочлен x^2-3x-15
- решите уравнение x^3+9x^2+15x-25=0
1.Выполните деление многочлена 2x^3-5x^2-33x-15 на многочлен x^2-3x-15
Для деления многочленов сначала выделим старший член делимого и делителя: x^3 и x^2 соответственно. Получаем частное 2x и умножаем на делитель x^2-3x-15, получаем 2x^3-6x^2-30x. Вычитаем это выражение из исходного многочлена и получаем 1x^2-3x+15. Далее повторяем процесс: выделяем x^2 и x из 1x^2-3x+15, получаем 1 и -3 соответственно. Домножаем 2x на x-3 и получаем 2x^2-6x. Вычитаем из 1x^2-3x+15 это выражение и получаем -3x+15. Наконец, выделяем -3 и -3 из -3x+15, получаем -1 и -5 соответственно. Домножаем 2x на -1 и -5 и получаем -2x-10. Вычитаем из -3x+15 это выражение и получаем остаток -5. Таким образом, деление многочленов 2x^3-5x^2-33x-15 на x^2-3x-15 дает частное 2x+1 и остаток -5.
Для решения уравнения x^3+9x^2+15x-25=0 применим метод подбора корней. Подставим в уравнение различные значения x и найдем, при каком значении уравнение обращается в 0. Первым шагом можно попробовать x=1, тогда уравнение примет вид 1+9+15-25=0, что верно. Значит, x-1 является корнем. Разделим исходное уравнение на x-1 с помощью синтетического деления и получим новое уравнение x^2+10x+25=0. Далее решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D=10^2-4125=100-100=0. Таким образом, уравнение имеет один корень -5. Итак, корни исходного уравнения x^3+9x^2+15x-25=0: x=1, x=-5 (кратный корень).
Рассмотрим оба вопроса по порядку.
Для выполнения деления многочленов воспользуемся методом столбика (или уголком).
Умножаем (2x) на (x^2 - 3x - 15): [ 2x \cdot (x^2 - 3x - 15) = 2x^3 - 6x^2 - 30x ]
Вычитаем результат из исходного многочлена: [ (2x^3 - 5x^2 - 33x - 15) - (2x^3 - 6x^2 - 30x) = (2x^3 - 5x^2 - 33x - 15) - 2x^3 + 6x^2 + 30x = x^2 - 3x - 15 ]
Возьмем (x^2) и разделим на (x^2): [ \frac{x^2}{x^2} = 1 ] Это будет вторым членом частного.
Умножаем 1 на (x^2 - 3x - 15): [ 1 \cdot (x^2 - 3x - 15) = x^2 - 3x - 15 ]
Вычитаем результат из оставшегося многочлена: [ (x^2 - 3x - 15) - (x^2 - 3x - 15) = 0 ]
Итак, частное равно (2x + 1), а остаток равен 0. То есть: [ \frac{2x^3 - 5x^2 - 33x - 15}{x^2 - 3x - 15} = 2x + 1 ]
Для решения кубического уравнения можно использовать различные методы, такие как факторизация, метод Кардано или численные методы. Попробуем найти рациональные корни методом подбора и затем использовать метод деления многочленов для упрощения.
По теореме о рациональных корнях, возможные корни могут быть делителями свободного члена (в данном случае -25), поделённые на делители старшего коэффициента (в данном случае 1). То есть возможные корни: ±1, ±5, ±25.
Проверим (x = 1): [ 1^3 + 9 \cdot 1^2 + 15 \cdot 1 - 25 = 1 + 9 + 15 - 25 = 0 ] Значит, (x = 1) является корнем.
Используем метод деления многочленов для нахождения частного: [ x^3 + 9x^2 + 15x - 25 \div (x - 1) ]
Делим (x^3) на (x): [ x^2 ]
Умножаем (x^2) на (x - 1): [ x^3 - x^2 ]
Вычитаем: [ (x^3 + 9x^2 + 15x - 25) - (x^3 - x^2) = 10x^2 + 15x - 25 ]
Делим (10x^2) на (x): [ 10x ]
Умножаем (10x) на (x - 1): [ 10x^2 - 10x ]
Вычитаем: [ (10x^2 + 15x - 25) - (10x^2 - 10x) = 25x - 25 ]
Делим (25x) на (x): [ 25 ]
Умножаем (25) на (x - 1): [ 25x - 25 ]
Вычитаем: [ (25x - 25) - (25x - 25) = 0 ]
Частное: (x^2 + 10x + 25).
Итак, уравнение можно переписать как: [ (x - 1)(x^2 + 10x + 25) = 0 ]
[ x^2 + 10x + 25 = 0 ]
Это квадратное уравнение можно решить, заметив, что оно является полным квадратом: [ (x + 5)^2 = 0 ]
Следовательно, (x = -5) (кратный корень).
Итак, корни уравнения: [ x = 1, x = -5 \text{ (кратный корень)} ]
Итак, решение уравнения (x^3 + 9x^2 + 15x - 25 = 0) даёт корни (x = 1) и (x = -5) (с кратностью 2).
Резюмируя, мы получили:
