1/(x-3)^2-3/x-3-4=0 решите уравнение ОГЭ Вариант 9 номер 21

Для решения данного уравнения нужно преобразовать его к более простому виду. Сначала приведем все дроби к общему знаменателю, умножив первое слагаемое на (x-3)/(x-3) и второе на (x-3)^2/(x-3)^2:

1/(x-3)^2 - 3/(x-3) - 4 = 0 1/(x-3)^2 (x-3)/(x-3) - 3/(x-3) (x-3)/(x-3) - 4(x-3)^2/(x-3)^2 = 0 (x-3)/(x-3)^2 - 3(x-3)/(x-3)^2 - 4 = 0

Теперь объединим дроби:

(x-3 - 3x + 9)/(x-3)^2 - 4 = 0 (-2x + 6)/(x-3)^2 - 4 = 0

Теперь умножим обе части уравнения на (x-3)^2, чтобы избавиться от знаменателя:

(-2x + 6) - 4(x-3)^2 = 0 -2x + 6 - 4(x^2 - 6x + 9) = 0 -2x + 6 - 4x^2 + 24x - 36 = 0 -4x^2 + 22x - 30 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac D = 22^2 - 4(-4)(-30) D = 484 - 480 = 4

x = (-b ± √D) / 2a x = (-22 ± √4) / (-8) x1 = (-22 + 2) / (-8) = -20 / -8 = 5/2 x2 = (-22 - 2) / (-8) = -24 / -8 = 3

Таким образом, уравнение 1/(x-3)^2 - 3/(x-3) - 4 = 0 имеет два корня: x1 = 5/2 и x2 = 3.

Чтобы решить уравнение

[ \frac{1}{(x-3)^2} - \frac{3}{x-3} - 4 = 0, ]

мы можем следовать следующим шагам:

1. Обозначение замены:

   Пусть ( y = x - 3 ). Тогда уравнение перепишется как:

   [ \frac{1}{y^2} - \frac{3}{y} - 4 = 0. ]

2. Приведение к общему знаменателю:

   Общий знаменатель для дробей ( y^2 ) и ( y ) — это ( y^2 ). Перепишем уравнение:

   [ \frac{1 - 3y - 4y^2}{y^2} = 0. ]

   Числитель должен быть равен нулю:

   [ 1 - 3y - 4y^2 = 0. ]

3. Решение квадратного уравнения:

   Перепишем уравнение как:

   [ -4y^2 - 3y + 1 = 0. ]

   Умножим всё уравнение на (-1) для удобства:

   [ 4y^2 + 3y - 1 = 0. ]

   Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант ( D ) равен:

   [ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25. ]

4. Нахождение корней:

   Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

   [ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ]

   Подставляем значения:

   [ y_{1,2} = \frac{-3 \pm 5}{8}. ]

   Тогда:

   [ y_1 = \frac{-3 + 5}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}, ]

   [ y_2 = \frac{-3 - 5}{8} = \frac{-8}{8} = -1. ]

5. Возврат к переменной ( x ):

   Поскольку ( y = x - 3 ), то:

   [ x - 3 = \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{4} + 3 = \frac{13}{4}, ]

   [ x - 3 = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -1 + 3 = 2. ]

6. Проверка условий:

   Нужно убедиться, что значения ( x = \frac{13}{4} ) и ( x = 2 ) не приводят к делению на ноль. Проверим:

   • При ( x = \frac{13}{4} ), ( x - 3 = \frac{1}{4} \neq 0 ).
   • При ( x = 2 ), ( x - 3 = -1 \neq 0 ).

   Оба значения допустимы.

Таким образом, решение уравнения:

[ x = \frac{13}{4} \quad \text{и} \quad x = 2. ]