2 cos^2 x - sin x cos x+5 sin^2 x =3

2 cos^2 x - sin x cos x + 5 sin^2 x = 3

Ответ: x = π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6.

Рассмотрим уравнение:

[ 2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3. ]

Первым шагом будет попытка упростить это уравнение, используя тригонометрические тождества. Напомним, что:

[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x. ]

Подставим это тождество в наше уравнение:

[ 2(1 - \sin^2 x) - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3. ]

Раскроем скобки:

[ 2 - 2\sin^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3. ]

Сгруппируем члены с (\sin^2 x):

[ 2 + 3\sin^2 x - \sin x \cos x = 3. ]

Перенесем 2 на правую сторону уравнения:

[ 3\sin^2 x - \sin x \cos x = 1. ]

Теперь заметим, что мы можем выразить (\cos x) через (\sin x) с использованием основного тригонометрического тождества, если это необходимо. Однако, в данном случае, попробуем более простой подход: замена переменной.

Пусть ( u = \sin x ) и ( v = \cos x ). Тогда у нас есть уравнение:

[ 3u^2 - uv = 1, ]

с условием ( u^2 + v^2 = 1 ).

Мы можем выразить ( v ) через ( u ) из условия:

[ v^2 = 1 - u^2, ] [ v = \sqrt{1 - u^2}. ]

Подставим это в уравнение:

[ 3u^2 - u\sqrt{1-u^2} = 1. ]

Это уравнение является нелинейным и может быть решено численными методами или графически.

Итак, чтобы решить это уравнение, можно использовать численные методы или графическое решение. Поскольку аналитическое решение может быть сложным из-за наличия квадратного корня, использование компьютерного алгоритма или специального программного обеспечения может быть предпочтительным.

Таким образом, основная задача сводится к решению уравнения:

[ 3u^2 - u\sqrt{1-u^2} = 1, ]

где ( u = \sin x ) и условие ( u^2 + v^2 = 1 ) должно выполняться. Если вам нужно точное решение, рекомендуется использовать подходящие численные методы или инструменты для нахождения значений ( u ) и ( v ), после чего можно найти ( x ).

Для решения данного уравнения нам необходимо преобразовать его к более удобному виду. Воспользуемся формулами тригонометрических тождеств: cos^2(x) = 1 - sin^2(x) и sin^2(x) = 1 - cos^2(x).

Подставим эти выражения в уравнение: 2(1 - sin^2(x)) - sin(x)cos(x) + 5sin^2(x) = 3.

Раскроем скобки и преобразуем уравнение: 2 - 2sin^2(x) - sin(x)cos(x) + 5(1 - cos^2(x)) = 3, 2 - 2sin^2(x) - sin(x)cos(x) + 5 - 5cos^2(x) = 3, 7 - 2sin^2(x) - sin(x)cos(x) - 5cos^2(x) = 3.

Полученное уравнение является квадратным относительно sin(x) и cos(x). Для его решения можно воспользоваться методом подстановки или другими методами решения квадратных уравнений.