2 найдите : а)f ' (x), б) f ' (-1),если f(x)=x^3-3x^2+5x+3 3 найдите : а)f ' (x), б) f ' (0),если f...

Конечно, давайте решим заданные задачи.

Задача 2

Дано: ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 3 )

а) Найдите ( f'(x) ):

Применим правила дифференцирования:

• Производная от ( x^n ) равна ( nx^{n-1} ).
• Производная от суммы функций равна сумме их производных.

Таким образом: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(3) ]

Рассчитаем каждую производную по отдельности:

• ( \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 )
• ( \frac{d}{dx}(3x^2) = 3 \cdot 2x = 6x )
• ( \frac{d}{dx}(5x) = 5 )
• ( \frac{d}{dx}(3) = 0 ) (производная постоянной равна нулю)

Сложим эти производные: [ f'(x) = 3x^2 - 6x + 5 ]

б) Найдите ( f'(-1) ):

Теперь подставим ( x = -1 ) в найденную производную: [ f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) + 5 ] [ f'(-1) = 3 \cdot 1 + 6 + 5 ] [ f'(-1) = 3 + 6 + 5 = 14 ]

Задача 3

Дано: ( f(x) = e^x \cos(x) )

а) Найдите ( f'(x) ):

Здесь применим правило произведения для нахождения производной от произведения двух функций: ( (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' ).

Пусть ( u = e^x ) и ( v = \cos(x) ).

Найдём производные ( u ) и ( v ):

• ( u' = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x )
• ( v' = \frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x) )

Теперь применим правило произведения: [ f'(x) = u' \cdot v + u \cdot v' ] [ f'(x) = e^x \cdot \cos(x) + e^x \cdot (-\sin(x)) ] [ f'(x) = e^x \cos(x) - e^x \sin(x) ] [ f'(x) = e^x (\cos(x) - \sin(x)) ]

б) Найдите ( f'(0) ):

Подставим ( x = 0 ) в найденную производную: [ f'(0) = e^0 (\cos(0) - \sin(0)) ] [ f'(0) = 1 (1 - 0) ] [ f'(0) = 1 ]

Задача 4

Дано: ( f(x) = \frac{x^2 + 2}{x - 3} )

а) Найдите ( f'(x) ):

Здесь применим правило производной частного: ( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} ).

Пусть ( u = x^2 + 2 ) и ( v = x - 3 ).

Найдём производные ( u ) и ( v ):

• ( u' = \frac{d}{dx}(x^2 + 2) = 2x )
• ( v' = \frac{d}{dx}(x - 3) = 1 )

Теперь применим правило производной частного: [ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} ] [ f'(x) = \frac{(2x)(x - 3) - (x^2 + 2)(1)}{(x - 3)^2} ]

Рассчитаем числитель: [ (2x)(x - 3) - (x^2 + 2) = 2x^2 - 6x - x^2 - 2 ] [ = x^2 - 6x - 2 ]

Следовательно: [ f'(x) = \frac{x^2 - 6x - 2}{(x - 3)^2} ]

б) Найдите ( f'(4) ):

Подставим ( x = 4 ) в найденную производную: [ f'(4) = \frac{4^2 - 6 \cdot 4 - 2}{(4 - 3)^2} ] [ f'(4) = \frac{16 - 24 - 2}{1} ] [ f'(4) = \frac{-10}{1} ] [ f'(4) = -10 ]

Таким образом, все задачи решены.

1. а) f'(x) = 3x^2 - 6x + 5 б) f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) + 5 = 3 + 6 + 5 = 14

2. а) f'(x) = e^x(cosx - sinx) б) f'(0) = e^0(cos0 - sin0) = 1(1 - 0) = 1

3. а) f'(x) = 2x - 2/x^2 б) f'(4) = 2(4) - 2/4^2 = 8 - 1/16 = 8 - 1/16 = 127/16

1. а) Найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 6x + 5

б) Для нахождения f'(-1) подставим x = -1 в производную функции: f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) + 5 f'(-1) = 3 + 6 + 5 f'(-1) = 14

1. а) Найдем производную функции f(x): f'(x) = e^xcos(x) - e^xsin(x)

б) Для нахождения f'(0) подставим x = 0 в производную функции: f'(0) = e^0cos(0) - e^0sin(0) f'(0) = 11 - 10 f'(0) = 1

1. а) Найдем производную функции f(x): f'(x) = 2x - 2/(x^2)

б) Для нахождения f'(4) подставим x = 4 в производную функции: f'(4) = 2*4 - 2/(4^2) f'(4) = 8 - 2/16 f'(4) = 8 - 1/8 f'(4) = 63/8

Таким образом, мы нашли значения производных функций f(x) в заданных точках.