2 sin (альфа - 7π) + cos (3π/2 + альфа)/ sin (альфа + π)

Данное выражение можно упростить с помощью тригонометрических тождеств.

1. Начнем с угловой разности синуса: sin(альфа - 7π) = sin(альфа)cos(7π) - cos(альфа)sin(7π). Так как cos(7π) = cos(π) = -1 и sin(7π) = sin(π) = 0, то sin(альфа - 7π) = -sin(альфа).
2. Далее разберемся с угловой суммой косинуса: cos(3π/2 + альфа) = cos(3π/2)cos(альфа) - sin(3π/2)sin(альфа). Поскольку cos(3π/2) = 0 и sin(3π/2) = -1, то cos(3π/2 + альфа) = -sin(альфа).
3. Наконец, угловая разность синуса: sin(альфа + π) = sin(альфа)cos(π) + cos(альфа)sin(π). Так как cos(π) = -1 и sin(π) = 0, то sin(альфа + π) = -sin(альфа).

Подставляя полученные значения обратно в исходное выражение, получаем: 2*(-sin(альфа)) + (-sin(альфа)) / (-sin(альфа)) = -2sin(альфа) - sin(альфа) / -sin(альфа) = -3sin(альфа) / -sin(альфа) = 3.

Таким образом, значение данного выражения равно 3.

Чтобы упростить выражение (2 \sin (\alpha - 7\pi) + \frac{\cos \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)}{\sin (\alpha + \pi)}), воспользуемся тригонометрическими тождествами и свойствами периодичности тригонометрических функций.

1. Упрощение (\sin (\alpha - 7\pi)):

   Функция (\sin(x)) имеет период (2\pi), поэтому: [ \sin(\alpha - 7\pi) = \sin(\alpha - 6\pi - \pi) = \sin(\alpha - \pi). ] Используя тождество (\sin(\alpha - \pi) = -\sin(\alpha)), получаем: [ \sin(\alpha - 7\pi) = -\sin(\alpha). ]

2. Упрощение (\cos \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)):

   Функция (\cos(x)) имеет период (2\pi), и мы можем использовать тождество: [ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin(\alpha). ] Это следует из сдвига на (\frac{3\pi}{2}), который соответствует повороту на 270 градусов — переход от косинуса к синусу с изменением знака.

3. Упрощение (\sin (\alpha + \pi)):

   Функция (\sin(x)) также имеет период (2\pi), и: [ \sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha). ]

4. Собираем все вместе:

   Подставим упрощенные выражения обратно в исходное выражение: [ 2 \sin (\alpha - 7\pi) + \frac{\cos \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)}{\sin (\alpha + \pi)} = 2(-\sin(\alpha)) + \frac{\sin(\alpha)}{-\sin(\alpha)}. ]

   Упростим: [ = -2\sin(\alpha) - 1. ]

Таким образом, упрощенное выражение равно (-2\sin(\alpha) - 1).