25 БАЛЛОВ Представьте бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной: 1,(4) ; 0,(13)...

1. Дробь 1,(4) представляет собой число, равное 1 + 0,4 + 0,04 + 0,004 + ... = 1 + 4/9 = 13/9.

2. Дробь 0,(13) представляет собой число, равное 0,1 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ... = 0,1 + 3/90 = 1/10 + 1/30 = 4/30 = 2/15.

3. Дробь -3,1(7) представляет собой число, равное -3 + 1 + 0,7 + 0,07 + 0,007 + ... = -3 + 1 + 7/9 = -2 + 7/9 = -11/9.

4. Дробь 0,12(15) представляет собой число, равное 0,1 + 0,02 + 0,015 + 0,0015 + ... = 0,1 + 2/90 + 15/990 + 15/9900 = 1/10 + 1/45 + 1/660 = 22/165.

Итак, числа, представленные в виде обыкновенных дробей, соответствуют следующим значениям: 1,(4) = 13/9 0,(13) = 2/15 -3,1(7) = -11/9 0,12(15) = 22/165.

1. Дробь 1,(4) = 1 + 4/9 = 13/9
2. Дробь 0,(13) = 0 + 13/99 = 13/99
3. Дробь -3,1(7) = -3 + 17/9 = -26/9
4. Дробь 0,12(15) = 0 + 1215/990 = 1215/990

Для преобразования бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь можно использовать следующий метод:

1. Дробь 1,(4)

Пусть ( x = 1.4444... )

Чтобы избавиться от периода, умножим ( x ) на 10 (так как период состоит из одной цифры): [ 10x = 14.4444... ]

Теперь вычтем из этого уравнения исходное: [ 10x - x = 14.4444... - 1.4444... ] [ 9x = 13 ]

Отсюда: [ x = \frac{13}{9} ]

2. Дробь 0,(13)

Пусть ( y = 0.131313... )

Умножим ( y ) на 100 (так как период состоит из двух цифр): [ 100y = 13.131313... ]

Вычтем из этого уравнения исходное: [ 100y - y = 13.131313... - 0.131313... ] [ 99y = 13 ]

Отсюда: [ y = \frac{13}{99} ]

3. Дробь -3,1(7)

Пусть ( z = -3.177777... )

Чтобы избавиться от периода, умножим ( z ) на 10 (так как период состоит из одной цифры): [ 10z = -31.777777... ]

Вычтем из этого уравнения исходное: [ 10z - z = -31.777777... + 3.177777... ] [ 9z = -28.6 ]

Отсюда: [ z = \frac{-28.6}{9} = \frac{-286}{90} = \frac{-143}{45} ]

4. Дробь 0,12(15)

Пусть ( w = 0.1215151515... )

Для начала умножим ( w ) на 100 (чтобы сдвинуть десятичную точку после не периодической части): [ 100w = 12.151515... ]

Теперь умножим результат на 100 (так как период состоит из двух цифр): [ 10000w = 1215.151515... ]

Вычтем первое уравнение из второго: [ 10000w - 100w = 1215.151515... - 12.151515... ] [ 9900w = 1203 ]

Отсюда: [ w = \frac{1203}{9900} = \frac{401}{3300} ]

Эти расчеты позволяют преобразовать бесконечные периодические десятичные дроби в обыкновенные дроби.