2cos^3(x) − cos^2(x) + 2cosx − 1 = 0 решитеее

Для решения данного уравнения сначала заметим, что мы можем представить его в виде уравнения вида: [2t^3 - t^2 + 2t - 1 = 0]

где (t = \cos(x)).

Теперь решим уравнение (2t^3 - t^2 + 2t - 1 = 0). Для этого можно воспользоваться методом подбора корней. Подставив различные значения (t), мы находим, что одним из корней этого уравнения является (t = 1). Это значит, что уравнение можно разложить на множители следующим образом: [2t^3 - t^2 + 2t - 1 = (t - 1)(2t^2 + t + 1) = 0]

Таким образом, у нас получилось уравнение вида: [t = 1 \quad \text{или} \quad 2t^2 + t + 1 = 0]

Решим квадратное уравнение (2t^2 + t + 1 = 0). Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: [D = b^2 - 4ac] [D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7]

Так как дискриминант отрицателен, у нас нет действительных корней для данного квадратного уравнения.

Итак, мы получили, что единственным корнем уравнения (2t^3 - t^2 + 2t - 1 = 0) является (t = 1). Таким образом, единственным решением исходного уравнения будет: [\cos(x) = 1] [x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}]

Для решения уравнения (2\cos^3(x) - \cos^2(x) + 2\cos(x) - 1 = 0) мы можем использовать замену переменной. Положим (y = \cos(x)). Тогда уравнение преобразуется в:

[2y^3 - y^2 + 2y - 1 = 0.]

Теперь мы имеем кубическое уравнение относительно (y). Попробуем найти его корни, используя метод подбора или теорему Виета.

Поиск рациональных корней

Согласно теореме о рациональных корнях, потенциальные рациональные корни уравнения (2y^3 - y^2 + 2y - 1 = 0) должны быть делителями свободного члена (-1), делённого на делители коэффициента при (y^3) (2). Таким образом, возможные рациональные корни: (\pm 1, \pm \frac{1}{2}).

Проверим эти значения:

1. (y = 1):

   [2(1)^3 - (1)^2 + 2(1) - 1 = 2 - 1 + 2 - 1 = 2 \neq 0.]

2. (y = -1):

   [2(-1)^3 - (-1)^2 + 2(-1) - 1 = -2 - 1 - 2 - 1 = -6 \neq 0.]

3. (y = \frac{1}{2}):

   [2\left(\frac{1}{2}\right)^3 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 2\left(\frac{1}{8}\right) - \frac{1}{4} + 1 - 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 - 1 = 0.]

Таким образом, (y = \frac{1}{2}) является корнем уравнения.

Деление многочлена на ((y - \frac{1}{2}))

Теперь мы можем выполнить деление многочлена (2y^3 - y^2 + 2y - 1) на ((y - \frac{1}{2})) для нахождения оставшихся корней.

После деления получаем:

[2y^3 - y^2 + 2y - 1 = (y - \frac{1}{2})(2y^2 + y + 2).]

Теперь решим квадратное уравнение (2y^2 + y + 2 = 0) с использованием дискриминанта:

Дискриминант (D) равен:

[D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 2 \times 2 = 1 - 16 = -15.]

Поскольку дискриминант отрицателен ((D = -15)), квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Вывод

Единственный действительный корень исходного уравнения (\cos(x) = \frac{1}{2}).

Теперь найдём (x):

[ \cos(x) = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, ]

где (k) — любое целое число.

Таким образом, решения уравнения (2\cos^3(x) - \cos^2(x) + 2\cos(x) - 1 = 0) в действительных числах:

[x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.]