2.Дано cos(альфа)=-3/5,90(градусов)<(альфа)<180(градусов).Найдите: а)sin(альфа) б)sin2(альфа)...

a) Сначала найдем sin(альфа) с помощью тригонометрической тождества sin^2(альфа) + cos^2(альфа) = 1: sin^2(альфа) + (-3/5)^2 = 1 sin^2(альфа) + 9/25 = 1 sin^2(альфа) = 16/25 sin(альфа) = ±4/5

Так как угол находится во втором квадранте, sin(альфа) отрицательный. Поэтому sin(альфа) = -4/5

б) Теперь найдем sin2(альфа) с помощью тригонометрической формулы sin2(альфа) = 2sin(альфа)cos(альфа): sin2(альфа) = 2(-4/5)(-3/5) = 24/25

в) Найдем cos(П/3+(альфа)) с помощью формулы cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ: cos(П/3+(альфа)) = cos(П/3)cos(альфа) - sin(П/3)sin(альфа) cos(П/3) = 1/2, sin(П/3) = sqrt(3)/2

cos(П/3+(альфа)) = (1/2)(-3/5) - (sqrt(3)/2)(-4/5) cos(П/3+(альфа)) = -3/10 - 2sqrt(3)/10 cos(П/3+(альфа)) = (-3 - 2sqrt(3))/10

a) sin(альфа) = sqrt(1 - cos^2(альфа)) = sqrt(1 - (-3/5)^2) = sqrt(1 - 9/25) = sqrt(16/25) = 4/5

б) sin2(альфа) = 2sin(альфа)cos(альфа) = 2(4/5)(-3/5) = -24/25

в) cos(П/3+(альфа)) = cos(60 + альфа) = cos(60)cos(альфа) - sin(60)sin(альфа) = (1/2)(-3/5) - (sqrt(3)/2)(4/5) = -3/10 - 2sqrt(3)/5

Для решения данных задач нам нужно использовать основные тригонометрические тождества и свойства тригонометрических функций.

Дано:

[ \cos(\alpha) = -\frac{3}{5}, \quad 90^\circ < \alpha < 180^\circ ]

Найти:

а) (\sin(\alpha))
б) (\sin(2\alpha))
в) (\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right))

Решение:

а) Найти (\sin(\alpha))

Из тригонометрической тождества (\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1):

[ \sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) ]

Подставляем значение (\cos(\alpha)):

[ \sin^2(\alpha) = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} ]

Следовательно:

[ \sin(\alpha) = \pm\frac{4}{5} ]

Так как (\alpha) находится во втором квадранте (где (90^\circ < \alpha < 180^\circ)), а в этом квадранте синус положителен, то:

[ \sin(\alpha) = \frac{4}{5} ]

б) Найти (\sin(2\alpha))

Используем формулу двойного угла для синуса:

[ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) ]

Подставляем найденные значения (\sin(\alpha)) и (\cos(\alpha)):

[ \sin(2\alpha) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = 2 \cdot \frac{4 \cdot (-3)}{25} = 2 \cdot \frac{-12}{25} = \frac{-24}{25} ]

Таким образом:

[ \sin(2\alpha) = -\frac{24}{25} ]

в) Найти (\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right))

Используем формулу суммы углов для косинуса:

[ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos(\alpha) - \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin(\alpha) ]

Значения стандартных углов:

[ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}, \quad \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} ]

Подставляем найденные значения (\sin(\alpha)) и (\cos(\alpha)):

[ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{5} ]

[ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = -\frac{3}{10} - \frac{4\sqrt{3}}{10} = -\frac{3 + 4\sqrt{3}}{10} ]

Таким образом:

[ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = -\frac{3 + 4\sqrt{3}}{10} ]

Ответы:

а) (\sin(\alpha) = \frac{4}{5})
б) (\sin(2\alpha) = -\frac{24}{25})
в) (\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = -\frac{3 + 4\sqrt{3}}{10})