2log3 x = log3 (2x^2-x)

Для решения данного уравнения необходимо привести его к более простому виду. Воспользуемся свойствами логарифмов:

2log3 x = log3 (2x^2-x)

Применим свойство логарифмов: log(a^b) = b*log(a)

log3 x^2 = log3 (2x^2-x)

Теперь применим свойство логарифмов: log(a) + log(b) = log(a*b)

log3 x^2 = log3 (2x^2 - x)

Теперь мы можем избавиться от логарифмов, так как обе части уравнения находятся в одной и той же системе счисления:

x^2 = 2x^2 - x

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

x^2 - x = 0

x(x-1) = 0

Таким образом, получаем два возможных решения: x = 0 или x = 1.

Давайте решим уравнение ( 2\log_3 x = \log_3 (2x^2 - x) ).

Первым шагом воспользуемся свойством логарифмов: ( a\log_b c = \log_b (c^a) ). Применяя это свойство к левой части уравнения, получаем:

[ 2\log_3 x = \log_3 (x^2) ]

Теперь уравнение принимает вид:

[ \log_3 (x^2) = \log_3 (2x^2 - x) ]

Поскольку логарифмическая функция является возрастающей, равенство логарифмов можно преобразовать в равенство их аргументов (при условии, что аргументы положительны):

[ x^2 = 2x^2 - x ]

Теперь упростим это уравнение, перенесем все члены в одну сторону:

[ x^2 - 2x^2 + x = 0 ]

[ -x^2 + x = 0 ]

Вынесем ( x ) за скобки:

[ x(-x + 1) = 0 ]

Отсюда следует, что либо ( x = 0 ), либо ( -x + 1 = 0 ).

1. Решение ( x = 0 ) не подходит, так как логарифм от нуля не определен.

2. Решение ( -x + 1 = 0 ), то есть ( x = 1 ).

Теперь проверим, что ( x = 1 ) действительно является решением нашего исходного уравнения:

Подставим ( x = 1 ) в исходное уравнение:

Левая часть: ( 2\log_3 1 = 2 \times 0 = 0 ).

Правая часть: ( \log_3 (2 \times 1^2 - 1) = \log_3 (2 - 1) = \log_3 1 = 0 ).

Обе части равны, значит, ( x = 1 ) является корректным решением.

Таким образом, решением данного уравнения является ( x = 1 ).