2)Решите уравнение x3-11x2+24x+36=0

Для решения данного уравнения сначала можно воспользоваться методом подбора корней. Подставим различные значения в уравнение и найдем корень:

Подставим x = 1: 1^3 - 111^2 + 241 + 36 = 1 - 11 + 24 + 36 = 50

Подставим x = -1: (-1)^3 - 11(-1)^2 + 24(-1) + 36 = -1 - 11 - 24 + 36 = 0

Значит, x = -1 является корнем уравнения. Теперь проведем деление многочлена на (x + 1) и решим полученное квадратное уравнение:

(x^3 - 11x^2 + 24x + 36) / (x + 1) = x^2 - 12x + 36

x^2 - 12x + 36 = 0 D = (-12)^2 - 4136 = 144 - 144 = 0

x = 6

Итак, уравнение x^3 - 11x^2 + 24x + 36 = 0 имеет корни: x = -1, x = 6.

x = -4, x = 6, x = 3

Для решения уравнения ( x^3 - 11x^2 + 24x + 36 = 0 ) можно использовать несколько методов. Один из наиболее распространённых методов для кубических уравнений — метод разложения на множители. Давайте рассмотрим этот метод пошагово.

1. Найти рациональные корни: Используем теорему Безу для поиска возможных рациональных корней. Согласно теореме, рациональные корни уравнения имеют вид ( \pm \frac{p}{q} ), где ( p ) — делитель свободного члена (в данном случае 36), а ( q ) — делитель старшего коэффициента (в данном случае 1).

   Делители числа 36: ( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36 ).

   Делители числа 1: ( \pm 1 ).

   Возможные рациональные корни: ( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36 ).

2. Проверка возможных корней: Подставляем возможные корни в уравнение и проверяем, при каком значении уравнение равняется нулю.

   Подставим ( x = 3 ): [ 3^3 - 11 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 + 36 = 27 - 99 + 72 + 36 = 36 - 36 = 0 ] Значит, ( x = 3 ) — это корень уравнения.

3. Разложение на множители: Разделим исходное уравнение на ( x - 3 ) при помощи деления многочленов или схемы Горнера.

   [ x^3 - 11x^2 + 24x + 36 = (x - 3)(Ax^2 + Bx + C) ]

   Используем деление многочленов для нахождения коэффициентов ( A ), ( B ) и ( C ):

   [ \begin{array}{r|rrr} 3 & 1 & -11 & 24 & 36 \

   &   & 3     & -24 & 0 \\
   

   \hline

   & 1 & -8  & 0  & 36 \\
   

   \end{array} ]

   Получаем: [ x^3 - 11x^2 + 24x + 36 = (x - 3)(x^2 - 8x - 12) ]

4. Решение квадратного уравнения: Найдём корни квадратного уравнения ( x^2 - 8x - 12 = 0 ). Для этого используем дискриминант:

   [ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 64 + 48 = 112 ]

   Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{7}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{7} ]

5. Запись всех корней: Теперь у нас есть все корни исходного кубического уравнения:

   [ x = 3, \quad x = 4 + 2\sqrt{7}, \quad x = 4 - 2\sqrt{7} ]

Таким образом, решение уравнения ( x^3 - 11x^2 + 24x + 36 = 0 ) даёт три корня:

[ x = 3, \quad x = 4 + 2\sqrt{7}, \quad x = 4 - 2\sqrt{7}. ]