2sin^2x - 3sinxcosx + cos^2x=0

Решим уравнение ( 2\sin^2 x - 3\sin x \cos x + \cos^2 x = 0 ).

Для удобства обозначим ( \sin x = y ) и ( \cos x = \sqrt{1 - y^2} ). Подставим эти обозначения в уравнение:

[ 2y^2 - 3y\sqrt{1 - y^2} + (1 - y^2) = 0 ]

Теперь упростим уравнение:

[ 2y^2 - 3y\sqrt{1 - y^2} + 1 - y^2 = 0 ] [ y^2 + 1 - 3y\sqrt{1 - y^2} = 0 ]

Переносим ( 3y\sqrt{1 - y^2} ) на другую сторону:

[ 3y\sqrt{1 - y^2} = y^2 + 1 ]

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

[ (3y\sqrt{1 - y^2})^2 = (y^2 + 1)^2 ]

Раскроем скобки:

[ 9y^2(1 - y^2) = y^4 + 2y^2 + 1 ] [ 9y^2 - 9y^4 = y^4 + 2y^2 + 1 ]

Соберем все члены в одну сторону:

[ -10y^4 + 7y^2 - 1 = 0 ]

Теперь умножим уравнение на (-1):

[ 10y^4 - 7y^2 + 1 = 0 ]

Обозначим ( z = y^2 ). Тогда уравнение принимает вид:

[ 10z^2 - 7z + 1 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 1 = 49 - 40 = 9 ]

Теперь найдем корни:

[ z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 3}{20} ]

Таким образом, получаем:

[ z_1 = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}, \quad z_2 = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} ]

Теперь вернемся к переменной ( y^2 ):

1. ( y^2 = \frac{1}{2} ) (\Rightarrow \sin^2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi ) для ( k \in \mathbb{Z} ).

2. ( y^2 = \frac{1}{5} ) (\Rightarrow \sin^2 x = \frac{1}{5} \Rightarrow \sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow x = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) + 2k\pi ) или ( x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) + 2k\pi ) для ( k \in \mathbb{Z} ).

Таким образом, окончательные решения уравнения:

[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \; k \in \mathbb{Z} ] [ x = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z} ] [ x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, мы нашли все решения исходного уравнения.

Давайте разберем уравнение 2sin²x - 3sinxcosx + cos²x = 0 подробно шаг за шагом.

Шаг 1. Используем тригонометрическое тождество

Напомним основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2x + \cos^2x = 1. ] Это поможет упростить выражение. Однако в данном случае, пока нет явной необходимости заменять (\sin^2x + \cos^2x). Сначала попробуем поработать с исходной формой.

Шаг 2. Введем замену

Заметим, что уравнение содержит произведения (\sin x) и (\cos x), а также квадраты. Это подсказывает, что можно попробовать ввести замену. Пусть: [ t = \sin x \cos x. ] Тогда мы знаем, что: [ \sin^2x = 1 - \cos^2x. ]

Перепишем уравнение в терминах (\sin x):