2sin^2x+cosx-1=0 Решите Пожалуйста. Покажите как раскрыть скобки при замене на 1-cosx.
2sin^2x+cosx-1=0 Решите Пожалуйста. Покажите как раскрыть скобки при замене на 1-cosx.
2sin^2x + cosx - 1 = 0
Заменяем sin^2x на 1-cos^2x:
2(1 - cos^2x) + cosx - 1 = 0 2 - 2cos^2x + cosx - 1 = 0 -2cos^2x + cosx + 1 = 0
Далее решаем квадратное уравнение по формуле дискриминанта:
D = (1)^2 - 4(-2)1 = 1 + 8 = 9
cosx1 = (-1 + √9) / (-4) = 2/4 = 1/2 cosx2 = (-1 - √9) / (-4) = -2/4 = -1/2
Ответ: cosx1 = 1/2, cosx2 = -1/2
Для начала заменим sin^2x на 1-cos^2x:
2(1-cos^2x) + cosx - 1 = 0 2 - 2cos^2x + cosx - 1 = 0 -2cos^2x + cosx + 1 = 0
Теперь проведем замену переменной: пусть t = cosx, тогда уравнение примет вид:
-2t^2 + t + 1 = 0
Далее, найдем корни квадратного уравнения:
D = 1 - 4(-2)1 = 9 t1,2 = ( -1 ± √9 ) / -4 t1 = 1, t2 = -0.5
Таким образом, уравнение имеет два корня: t1 = 1 и t2 = -0.5, что соответствует cosx = 1 и cosx = -0.5.
Для cosx = 1, x = 0 + 2πk, k - целое число. Для cosx = -0.5, x = 2π/3 + 2πk, 4π/3 + 2πk, k - целое число.
Итак, корни уравнения 2sin^2x + cosx - 1 = 0: x = 0 + 2πk, 2π/3 + 2πk, 4π/3 + 2πk, k - целое число.
Для решения уравнения (2\sin^2 x + \cos x - 1 = 0) можно воспользоваться тригонометрическим тождеством (\sin^2 x = 1 - \cos^2 x). Подставим это тождество в исходное уравнение:
[2(1 - \cos^2 x) + \cos x - 1 = 0.]
Раскроем скобки:
[2 \cdot 1 - 2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0.]
Упростим уравнение:
[2 - 2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0.]
[1 - 2 \cos^2 x + \cos x = 0.]
Теперь это уравнение является квадратным относительно переменной ( \cos x ). Обозначим ( y = \cos x ), тогда уравнение примет вид:
[1 - 2y^2 + y = 0.]
Перепишем его в стандартной форме квадратного уравнения:
[-2y^2 + y + 1 = 0.]
Домножим уравнение на -1, чтобы коэффициент при ( y^2 ) был положительным:
[2y^2 - y - 1 = 0.]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9. ]
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных вещественных корня. Найдем их:
[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}. ]
Получаем два корня:
[ y_1 = \frac{4}{4} = 1, \quad y_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}. ]
Теперь вернемся к переменной ( \cos x ):
Для (\cos x = 1), (x = 2\pi k), где (k) — целое число.
Для (\cos x = -\frac{1}{2}), (x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k), где (k) — целое число.
Таким образом, общее решение уравнения:
[x = 2\pi k, \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.]
