2у/у+3 +(у-3)^2 *(2/9-6у+у^2 +1/9-у^2)

Для упрощения выражения ( \frac{2y}{y + 3} + (y - 3)^2 \left( \frac{2}{9} - 6y + y^2 + \frac{1}{9} - y^2 \right) ) начнем с раскрытия скобок и упрощения выражений внутри скобок:

1. Рассмотрим выражение в скобках: [ \frac{2}{9} - 6y + y^2 + \frac{1}{9} - y^2 = \frac{2}{9} + \frac{1}{9} - 6y = \frac{3}{9} - 6y = \frac{1}{3} - 6y ]

2. Теперь подставим полученное выражение (\frac{1}{3} - 6y) обратно в исходное выражение: [ \frac{2y}{y + 3} + (y - 3)^2 \left(\frac{1}{3} - 6y\right) ]

3. Раскроем скобку, умножив каждый член внутри на ((y - 3)^2): [ \frac{2y}{y + 3} + (y - 3)^2 \frac{1}{3} - 6y(y - 3)^2 ]

4. Разложим и упростим выражение (6y(y - 3)^2): [ (y - 3)^2 = y^2 - 6y + 9 ] [ 6y(y - 3)^2 = 6y(y^2 - 6y + 9) = 6y^3 - 36y^2 + 54y ]

5. Теперь итоговое выражение принимает вид: [ \frac{2y}{y + 3} + \frac{1}{3}(y^2 - 6y + 9) - (6y^3 - 36y^2 + 54y) ]

6. Упростим дальше, раскрыв скобки и объединяя подобные слагаемые: [ \frac{2y}{y + 3} + \frac{1}{3}y^2 - 2y + 3 - 6y^3 + 36y^2 - 54y ]

7. Объединим все члены, содержащие (y): [ -6y^3 + 36y^2 + \left(\frac{1}{3}y^2 - 2y - 54y + 3\right) + \frac{2y}{y + 3} ] [ -6y^3 + \frac{109}{3}y^2 - 56y + 3 + \frac{2y}{y + 3} ]

Конечный результат представляет собой сложное выражение, объединяющее полиномиальные и рациональные части. Для дальнейшего упрощения или решения конкретных задач необходимо иметь дополнительные условия или цели упрощения.

Для начала выполним арифметические действия в скобках:

(у - 3)^2 = у^2 - 6у + 9

(2/9 - 6у + у^2) (1/9 - у^2) = (2/9 - 6у + у^2) (1/9 - у^2)

Умножаем каждый член первого множителя на каждый член второго множителя:

(2/9) (1/9) + (2/9) (-у^2) + (-6у) (1/9) + (-6у) (-у^2) + (у^2) (1/9) + (у^2) (-у^2)

2/81 - 2у^2/9 - 6у/9 + 6у^3 + у^2/9 - у^4

Складываем результаты в скобках:

2у/(у + 3) + (2/81 - 2у^2/9 - 6у/9 + 6у^3 + у^2/9 - у^4)

Соберем все члены в одно выражение:

2у/(у + 3) + 2/81 - 2у^2/9 - 6у/9 + 6у^3 + у^2/9 - у^4

Итоговый ответ:

2у/(у + 3) + 2/81 - 2у^2/9 - 6у/9 + 6у^3 + у^2/9 - у^4