3sin²x=2sinxcosx+cos²x
3sin²x=2sinxcosx+cos²x
3sin²x=2sinxcosx+cos²x 3sin²x = sinxcosx + sin²x + cos²x 3sin²x = sinxcosx + 1 3sin²x - sinxcosx = 1
Для решения данного уравнения используем тригонометрические тождества. Заметим, что уравнение содержит смешанные члены sin и cos, поэтому преобразуем его с помощью тригонометрических формул.
Начнем с того, что sin²x = 1 - cos²x (тождество пи/2), подставим данное выражение в уравнение:
3(1 - cos²x) = 2sinxcosx + cos²x
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
3 - 3cos²x = 2sinxcosx + cos²x
Теперь заметим, что cos²x = 1 - sin²x (тождество пи/2), подставим его в уравнение:
3 - 3(1 - sin²x) = 2sinxcosx + 1 - sin²x
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
3 - 3 + 3sin²x = 2sinxcosx + 1 - sin²x
Получим:
3sin²x = 2sinxcosx + 1 - sin²x
Таким образом, мы получили изначальное уравнение в другой форме. Решив его, можно найти все значения x, удовлетворяющие данному уравнению.
Для решения заданного уравнения (3 \sin^2 x = 2 \sin x \cos x + \cos^2 x) начнем с его преобразования. Сначала выразим все через синус и косинус, чтобы упростить уравнение.
У нас уже есть:
[ 3 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x - \cos^2 x = 0 ]
Теперь давайте попробуем переписать это уравнение в другом виде, используя тригонометрические тождества, например, используя формулу для косинуса двойного угла (\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x).
Перепишем (\cos^2 x) как (1 - \sin^2 x), чтобы выразить все через (\sin x):
[ 3 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x - (1 - \sin^2 x) = 0 ]
Раскрываем скобки:
[ 3 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x - 1 + \sin^2 x = 0 ]
Суммируем однотипные члены:
[ 4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x - 1 = 0 ]
Это квадратное уравнение относительно (\sin x) и (\cos x). Давайте рассмотрим подстановку: пусть (u = \sin x) и (v = \cos x). Тогда уравнение становится:
[ 4u^2 - 2uv - 1 = 0 ]
Теперь мы можем решать это как квадратное уравнение относительно (u) при фиксированном (v). Используем формулу для корней квадратного уравнения:
[ u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
Где (a = 4), (b = -2v), и (c = -1). Подставляем:
[ u = \frac{-(-2v) \pm \sqrt{(-2v)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} ] [ u = \frac{2v \pm \sqrt{4v^2 + 16}}{8} ] [ u = \frac{2v \pm 2\sqrt{v^2 + 4}}{8} ] [ u = \frac{v \pm \sqrt{v^2 + 4}}{4} ]
Так как (u^2 + v^2 = 1) (основное тригонометрическое тождество), мы можем использовать это, чтобы найти соответствующие значения для (v) и затем для (u). Но это уже более сложный путь, и для точного анализа может потребоваться численное решение или графический метод.
Также можно проверить некоторые специфические значения, например, при (x = \frac{\pi}{4}), (\sin x = \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}), подставляя и проверяя уравнение. Но для полного решения лучше использовать численные или графические методы.
