(3x квадрат + 11х - 4) / ( 3х-1) = 3

Для решения уравнения

[ \frac{3x^2 + 11x - 4}{3x - 1} = 3 ]

нужно выполнить следующие шаги:

1. Умножение обеих частей уравнения на знаменатель:

   Это позволит избавиться от дроби. Умножим обе части уравнения на (3x - 1):

   [ 3x^2 + 11x - 4 = 3(3x - 1) ]

2. Раскрытие скобок:

   Раскроем скобки в правой части уравнения:

   [ 3x^2 + 11x - 4 = 9x - 3 ]

3. Приведение всех членов к одной стороне уравнения:

   Перенесем все члены на одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

   [ 3x^2 + 11x - 4 - 9x + 3 = 0 ]

   Упрощаем:

   [ 3x^2 + 2x - 1 = 0 ]

4. Решение квадратного уравнения:

   Используем формулу для решения квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0):

   [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

   где (a = 3), (b = 2), (c = -1).

   Вычислим дискриминант:

   [ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 ]

   Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

   [ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} ]

   [ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1 ]

5. Проверка найденных корней:

   Подставим найденные значения (x_1 = \frac{1}{3}) и (x_2 = -1) в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они не обращают знаменатель в ноль.

   Для (x_1 = \frac{1}{3}):

   [ 3x - 1 = 3 \cdot \frac{1}{3} - 1 = 1 - 1 = 0 ]

   Этот корень обращает знаменатель в ноль, поэтому он не подходит.

   Для (x_2 = -1):

   [ 3x - 1 = 3 \cdot (-1) - 1 = -3 - 1 = -4 ]

   Знаменатель не равен нулю, значит, (x = -1) является решением уравнения.

Таким образом, единственный допустимый корень уравнения — это (x = -1).

Для того чтобы найти значение переменной x в данном уравнении, необходимо сначала упростить выражение в левой части уравнения. Для этого нужно разделить многочлен (3x^2 + 11x - 4) на многочлен (3x - 1) с помощью деления с остатком.

Для начала разделим первый член делимого на первый член делителя: 3x^2 / 3x = x. Получаем первый член частного.

Затем умножим полученный частный на делитель и вычтем результат из делимого: (3x - 1) * x = 3x^2 - x. Вычитаем это из делимого: (3x^2 + 11x - 4) - (3x^2 - x) = 12x - 4.

Теперь полученное выражение (12x - 4) разделим на делитель (3x - 1): (12x - 4) / (3x - 1). Разделим первый член делимого на первый член делителя: 12x / 3x = 4.

Умножим полученный частный на делитель и вычтем результат из делимого: (3x - 1) * 4 = 12x - 4. Вычитаем это из делимого: (12x - 4) - (12x - 4) = 0.

Таким образом, уравнение (3x^2 + 11x - 4) / (3x - 1) = 3 имеет решение x = 1.