4sin690(градусов)-8cos(во 2ой)210(градусов)+корень из 27 ctg660(градусов)
4sin690(градусов)-8cos(во 2ой)210(градусов)+корень из 27 ctg660(градусов)
Ответ: 4sin(690°) - 8cos(210°) + √27ctg(660°) = -4 + 8√3 - 3√3 = 4√3 - 4.
Давайте разберем выражение пошагово:
Упростим каждую тригонометрическую функцию по отдельности:
( \sin(690^\circ) ): Поскольку синус имеет период (360^\circ), можно упростить угол: [ 690^\circ - 360^\circ \times 1 = 690^\circ - 360^\circ = 330^\circ ] Таким образом, ( \sin(690^\circ) = \sin(330^\circ) ). Из тригонометрических таблиц знаем, что: [ \sin(330^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2} ]
( \cos(210^\circ) ): Из тригонометрических таблиц знаем, что: [ \cos(210^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ]
( \cot(660^\circ) ): Поскольку котангенс имеет период (180^\circ), можно упростить угол: [ 660^\circ - 180^\circ \times 3 = 660^\circ - 540^\circ = 120^\circ ] Таким образом, ( \cot(660^\circ) = \cot(120^\circ) ). Из тригонометрических таблиц знаем, что: [ \cot(120^\circ) = -\cot(60^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}} ]
Подставим упрощенные значения в исходное выражение: [ 4 \sin(690^\circ) - 8 \cos(210^\circ) + \sqrt{27} \cot(660^\circ) ] [ 4 \left( -\frac{1}{2} \right) - 8 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \sqrt{27} \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) ]
Упростим выражение:
Сложим все части: [ -2 + 4\sqrt{3} - 3 = -5 + 4\sqrt{3} ]
Таким образом, итоговое значение выражения: [ -5 + 4\sqrt{3} ]
Для расчета данного выражения нам потребуется использовать тригонометрические формулы.
Сначала приведем углы к удобным значениям: sin(690°) = sin(360° + 330°) = sin(330°) = -sin(30°) = -0.5 cos(210°) = cos(180° + 30°) = cos(30°) = 0.866 ctg(660°) = 1/tan(660°) = 1/tan(660° - 360°) = 1/tan(300°) = 1/cot(300°) = 1/(√3) = 1/√3
Теперь можем подставить все значения в выражение: 4(-0.5) - 80.866 + √27*(1/√3) = -2 - 6.928 + 3 = -5.928
Итак, результат выражения равен -5.928.
