7 корней из 2 * sin 15 pi/8* cos 15pi/8

Для нахождения корней данного выражения, необходимо использовать формулу Эйлера:

sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i) cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2

Таким образом, подставим значения sin(15π/8) и cos(15π/8) в формулу:

2 sin(15π/8) cos(15π/8) = 2 ((e^(i15π/8) - e^(-i15π/8)) / (2i)) ((e^(i15π/8) + e^(-i15π/8)) / 2)

Упрощая данное выражение, получаем:

2 sin(15π/8) cos(15π/8) = (e^(i15π/8) - e^(-i15π/8)) * (e^(i15π/8) + e^(-i15π/8)) / i

После умножения и упрощения получаем:

2 sin(15π/8) cos(15π/8) = (e^(i30π/8) - e^(i0)) / i

Таким образом, корни данного выражения будут равны e^(i30π/8) и e^(i0), что соответствует значениям 1 и 1.

Давайте разберём выражение ( 7 \sqrt{2} \cdot \sin \left( \frac{15\pi}{8} \right) \cdot \cos \left( \frac{15\pi}{8} \right) ).

Для начала, вспомним тригонометрическую идентичность для произведения синуса и косинуса: [ \sin(x) \cos(x) = \frac{1}{2} \sin(2x) ]

Применим эту идентичность к нашему случаю: [ \sin \left( \frac{15\pi}{8} \right) \cos \left( \frac{15\pi}{8} \right) = \frac{1}{2} \sin \left( 2 \cdot \frac{15\pi}{8} \right) ]

Упростим аргумент в синусе: [ 2 \cdot \frac{15\pi}{8} = \frac{30\pi}{8} = \frac{15\pi}{4} ]

Теперь у нас есть: [ \sin \left( \frac{15\pi}{4} \right) ]

Учитывая, что синус - это периодическая функция с периодом (2\pi), мы можем упростить аргумент: [ \frac{15\pi}{4} = 3\pi + \frac{3\pi}{4} ] [ \sin \left( 3\pi + \frac{3\pi}{4} \right) = \sin \left( \frac{3\pi}{4} \right) ]

Так как (\sin(3\pi/4) = \sin(\pi - \pi/4) = \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}), у нас получается: [ \sin \left( \frac{15\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Теперь вернёмся к исходному выражению: [ \sin \left( \frac{15\pi}{8} \right) \cos \left( \frac{15\pi}{8} \right) = \frac{1}{2} \sin \left( \frac{15\pi}{4} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} ]

Подставим это значение в начальную формулу: [ 7 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = 7 \cdot \frac{2}{4} = 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{2} ]

Таким образом, значение выражения ( 7 \sqrt{2} \cdot \sin \left( \frac{15\pi}{8} \right) \cdot \cos \left( \frac{15\pi}{8} \right) ) равно (\frac{7}{2}).