8) окружность проходит через точки А(3; 1) и В(—1; 3), а её центр лежит на прямой 3х — у — 2 = 0;

Центр окружности - точка пересечения прямой и серединного перпендикуляра к отрезку AB.

Для того чтобы найти уравнение окружности, проходящей через точки А(3; 1) и В(—1; 3) и центр которой лежит на прямой 3х — у — 2 = 0, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем центр окружности. Поскольку центр окружности лежит на прямой 3х — у — 2 = 0, подставим уравнение прямой в уравнение окружности и найдем координаты центра. Получим систему уравнений: 3х - у - 2 = 0 (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2

2. Подставим координаты точек А и В в уравнение окружности и найдем радиус r.

3. Полученный центр и радиус подставляем в уравнение окружности: (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2

Таким образом, решив данную систему уравнений, мы найдем уравнение окружности, проходящей через точки А(3; 1) и В(—1; 3) и центр которой лежит на прямой 3х — у — 2 = 0.

Чтобы найти уравнение окружности, проходящей через точки ( A(3, 1) ) и ( B(-1, 3) ), с центром на прямой ( 3x - y - 2 = 0 ), нужно выполнить несколько шагов.

1. Уравнение окружности: Уравнение окружности в общем виде записывается как: [ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2, ] где ((x_0, y_0)) — координаты центра окружности, а ( R ) — радиус.

2. Центр окружности: Так как центр окружности лежит на прямой ( 3x - y - 2 = 0 ), координаты центра ((x_0, y_0)) должны удовлетворять этому уравнению: [ 3x_0 - y_0 - 2 = 0. ] То есть, [ y_0 = 3x_0 - 2. ]

3. Использование точек на окружности: Подставим координаты точек ( A ) и ( B ) в уравнение окружности. Это даст нам два уравнения. Начнем с точки ( A(3, 1) ): [ (3 - x_0)^2 + (1 - y_0)^2 = R^2. ] Подставим ( y_0 = 3x_0 - 2 ): [ (3 - x_0)^2 + (1 - (3x_0 - 2))^2 = R^2, ] [ (3 - x_0)^2 + (3 - 3x_0)^2 = R^2, ] [ (3 - x_0)^2 + 9(1 - x_0)^2 = R^2. ]

   Теперь для точки ( B(-1, 3) ): [ (-1 - x_0)^2 + (3 - y_0)^2 = R^2. ] Подставим ( y_0 = 3x_0 - 2 ): [ (-1 - x_0)^2 + (3 - (3x_0 - 2))^2 = R^2, ] [ (-1 - x_0)^2 + (5 - 3x_0)^2 = R^2. ]

4. Система уравнений: Мы получили систему из двух уравнений: [ (3 - x_0)^2 + 9(1 - x_0)^2 = R^2, ] [ (-1 - x_0)^2 + (5 - 3x_0)^2 = R^2. ]

   Эти уравнения можно упростить: [ (3 - x_0)^2 + 9(1 - x_0)^2 = (-1 - x_0)^2 + (5 - 3x_0)^2. ]

5. Решение системы: Раскроем скобки и упростим: [ (3 - x_0)^2 + 9(1 - x_0)^2 = (-1 - x_0)^2 + (5 - 3x_0)^2, ] [ 9 - 6x_0 + x_0^2 + 9(1 - 2x_0 + x_0^2) = 1 + 2x_0 + x_0^2 + 25 - 30x_0 + 9x_0^2, ] [ 9 - 6x_0 + x_0^2 + 9 - 18x_0 + 9x_0^2 = 26 - 28x_0 + 10x_0^2, ] [ 10x_0^2 - 24x_0 + 18 = 10x_0^2 - 28x_0 + 26, ] [ -24x_0 + 18 = -28x_0 + 26, ] [ 4x_0 = 8, ] [ x_0 = 2. ]

   Теперь, используя ( y_0 = 3x_0 - 2 ): [ y_0 = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4. ]

   Таким образом, центр окружности — это точка ((2, 4)).

6. Нахождение радиуса: Подставим координаты центра и одной из точек, например, ( A(3, 1) ), в уравнение окружности: [ (3 - 2)^2 + (1 - 4)^2 = R^2, ] [ 1^2 + (-3)^2 = R^2, ] [ 1 + 9 = R^2, ] [ R^2 = 10. ]

   Следовательно, уравнение окружности: [ (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 10. ]