8. В шахматном клубе университета занимались девять шахматистов 1 разряда и шесть шахматистов 2 разряда....

Для составления команды из трех человек 1-ого разряда на 1-ю, 2-ю, и 3-ю доску у нас есть 9 шахматистов 1 разряда, поэтому количество вариантов выбрать троих из них равно количеству сочетаний из 9 по 3:

C(9,3) = 9! / (3! * (9-3)!) = 84

Для составления команды из двух человек 2-го разряда на 4-ю и 5-ю доску у нас есть 6 шахматистов 2 разряда, поэтому количество вариантов выбрать двоих из них равно количеству сочетаний из 6 по 2:

C(6,2) = 6! / (2! * (6-2)!) = 15

Таким образом, общее количество вариантов составить команду будет равно произведению количества вариантов для каждой категории шахматистов:

84 * 15 = 1260

Итак, существует 1260 вариантов составить команду для участия в соревнованиях.

Для решения этой задачи нам нужно найти количество способов, которыми можно выбрать команду из шахматистов с заданными условиями.

1. Выбор шахматистов 1-го разряда: В клубе есть девять шахматистов 1-го разряда, и нам нужно выбрать троих из них. Это задача на сочетания, так как порядок, в котором мы их выбираем, не имеет значения. Число сочетаний из ( n ) элементов по ( k ) элементов вычисляется по формуле: [ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ] В нашем случае ( n = 9 ) и ( k = 3 ): [ C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} ] Вычислим факториалы: [ 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6! ] [ \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{3! \times 6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{6} ] [ = \frac{504}{6} = 84 ] Значит, существует 84 способа выбрать троих шахматистов 1-го разряда.

2. Выбор шахматистов 2-го разряда: В клубе есть шесть шахматистов 2-го разряда, и нам нужно выбрать двух из них. Это тоже задача на сочетания: [ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} ] Вычислим факториалы: [ 6! = 6 \times 5 \times 4! ] [ \frac{6 \times 5 \times 4!}{2! \times 4!} = \frac{6 \times 5}{2!} = \frac{30}{2} = 15 ] Значит, существует 15 способов выбрать двух шахматистов 2-го разряда.

3. Объединение результатов: Так как выбор шахматистов 1-го и 2-го разряда независим друг от друга, общее количество способов составить команду будет произведением количества способов выбрать шахматистов 1-го разряда на количество способов выбрать шахматистов 2-го разряда: [ 84 \times 15 = 1260 ]

Таким образом, существует 1260 различных вариантов составить команду для участия в соревнованиях.