A) Решите уравнение: \[ 8^{x} - 3* 2^{x+2} + 2^{5-x} =0\] б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие...

Давайте решим уравнение:

[ 8^x - 3 \cdot 2^{x+2} + 2^{5-x} = 0 ]

Для начала упростим выражение, используя свойства степеней.

1. Преобразуем ( 8^x ): [ 8^x = (2^3)^x = 2^{3x} ]

2. Преобразуем ( 2^{x+2} ): [ 3 \cdot 2^{x+2} = 3 \cdot 2^x \cdot 2^2 = 3 \cdot 2^x \cdot 4 = 12 \cdot 2^x ]

3. Преобразуем ( 2^{5-x} ): [ 2^{5-x} ]

Теперь перепишем наше уравнение с учетом этих преобразований:

[ 2^{3x} - 12 \cdot 2^x + 2^{5-x} = 0 ]

Для удобства введем замену: ( y = 2^x ). Тогда уравнение примет вид:

[ y^3 - 12y + \frac{32}{y} = 0 ]

Умножим на ( y ), чтобы избавиться от дроби:

[ y^4 - 12y^2 + 32 = 0 ]

Теперь у нас получилось биквадратное уравнение. Сделаем замену: ( z = y^2 ). Тогда уравнение станет:

[ z^2 - 12z + 32 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение:

[ z = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{12 \pm 4}{2} ]

Получаем два корня:

[ z_1 = \frac{12 + 4}{2} = 8 ] [ z_2 = \frac{12 - 4}{2} = 4 ]

Теперь вернемся к замене ( z = y^2 ):

1. ( y^2 = 8 ) [ y = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} ]

2. ( y^2 = 4 ) [ y = \sqrt{4} = 2 ]

Поскольку ( y = 2^x ), получаем следующие уравнения:

1. ( 2^x = 2 \sqrt{2} ) [ 2^x = 2^{3/2} ] [ x = \frac{3}{2} ]

2. ( 2^x = 2 ) [ x = 1 ]

Итак, корни уравнения: ( x = 1 ) и ( x = \frac{3}{2} ).

Теперь проверим, принадлежат ли эти корни отрезку ([ \log_4 5 ; \sqrt{3} ]).

1. ( \log_4 5 ) [ \log_4 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 4} = \frac{\log_2 5}{2} \approx \frac{2.3219}{2} \approx 1.16095 ]

2. ( \sqrt{3} \approx 1.732 )

Теперь сравним:

Отрезок ([1.16095; 1.732]).

Корни уравнения: [ x = 1 \quad (\text{не принадлежит отрезку}) ] [ x = \frac{3}{2} = 1.5 \quad (\text{принадлежит отрезку}) ]

Таким образом, корень ( x = \frac{3}{2} ) принадлежит отрезку ( [ \log_4 5 ; \sqrt{3} ] ).

a) Для начала преобразуем уравнение:

[ 8^{x} - 3* 2^{x+2} + 2^{5-x} =0]

[ 2^{3x} - 3* 2^{x+2} + 2^{5-x} =0]

[ 2^{3x} - 32^{x} 2^{2} + 2^{5} * 2^{-x} = 0]

[ 2^{3x} - 122^{x} + 322^{-x} = 0]

Проведем замену переменной: (2^{x} = t)

[ t^{3} - 12t + 32/t = 0]

[ t^{4} - 12t^{2} + 32 = 0]

Это уравнение квадратное относительно (t^{2}), решим его:

[ t^{2} = 6 \pm 2\sqrt{3}]

Таким образом, получаем два возможных значения для t:

[ t_{1} = 6 + 2\sqrt{3} = 2^{x} ]

[ t_{2} = 6 - 2\sqrt{3} = 2^{x} ]

Отсюда можем найти значения x:

[ x{1} = log{2}(6 + 2\sqrt{3})]

[ x{2} = log{2}(6 - 2\sqrt{3})]

б) Чтобы найти корни уравнения, принадлежащие отрезку [log4(5) ; [ \sqrt{3} ]], необходимо найти значения x, которые удовлетворяют условиям:

[ log{2}(5) \leq x \leq log{2}(\sqrt{3})]

[ 2^{log{2}(5)} \leq 2^{x} \leq 2^{log{2}(\sqrt{3})}]

[ 5 \leq 2^{x} \leq \sqrt{3}]

Из найденных значений x в предыдущем пункте подбираем те, что удовлетворяют данному неравенству.