A) Решите уравнение sin2x+2sin^2x=0 б) Найдите все корни этого уравнения,принадлежащие отрезку [-2п;-п/2]
A) Решите уравнение sin2x+2sin^2x=0 б) Найдите все корни этого уравнения,принадлежащие отрезку [-2п;-п/2]
Чтобы решить уравнение ( \sin 2x + 2\sin^2 x = 0 ), начнем с преобразования и поиска общих решений.
Используем тригонометрическую идентичность: [ \sin 2x = 2 \sin x \cos x ] Подставим это в уравнение: [ 2 \sin x \cos x + 2\sin^2 x = 0 ]
Вынесем общий множитель: [ 2 \sin x (\cos x + \sin x) = 0 ]
Рассмотрим каждое из возможных решений отдельно:
( 2 \sin x = 0 ) [ \sin x = 0 ] Решения этого уравнения: [ x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]
( \cos x + \sin x = 0 ) [ \sin x = -\cos x ] Делим обе части на (\cos x) (предполагая, что (\cos x \neq 0)): [ \tan x = -1 ] Решения этого уравнения: [ x = -\frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} ]
Для ( \sin x = 0 ): [ x = k\pi ] Проверим, какие значения ( k ) подходят:
Для ( \tan x = -1 ): [ x = -\frac{\pi}{4} + n\pi ] Проверим, какие значения ( n ) подходят:
Итак, корни уравнения на отрезке ([-2\pi; -\frac{\pi}{2}]) следующие:
Таким образом, найденные корни уравнения на заданном отрезке — это ( -2\pi, -\frac{9\pi}{4}, -\pi, -\frac{5\pi}{4} ).
а) Для решения уравнения sin^2x + 2sin^2x = 0 сначала объединим слагаемые: 3sin^2x = 0. Теперь разделим обе части уравнения на 3: sin^2x = 0. Зная, что sin^2x = (sinx)^2, получаем (sinx)^2 = 0. Это уравнение имеет единственное решение sinx = 0. Значит, корни уравнения sin^2x + 2sin^2x = 0 - это все x, для которых sinx = 0.
б) Чтобы найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-2π; -π/2], нужно найти все значения x на этом отрезке, для которых sinx = 0. Так как sinx = 0 при x = kπ, где k - целое число, то корни уравнения sin^2x + 2sin^2x = 0 на отрезке [-2π; -π/2] будут равны -π и -3π/2.
