Арифметическая прогрессия и уравнение Дано уравнение: (x−a)(x²−8x+15)=0 Найди те значения a, при которых...

Для начала рассмотрим данное уравнение:

[ (x - a)(x^2 - 8x + 15) = 0 ]

Это уравнение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два уравнения:

1. (x - a = 0)
2. (x^2 - 8x + 15 = 0)

Первое уравнение дает нам корень (x = a).

Теперь найдем корни второго уравнения:

[ x^2 - 8x + 15 = 0 ]

Для решения этого квадратного уравнения используем формулу для корней квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0):

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Здесь (a = 1), (b = -8), (c = 15). Подставим эти значения в формулу:

[ x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2} ]

Таким образом, корни уравнения:

[ x_1 = \frac{8 - 2}{2} = 3 ] [ x_2 = \frac{8 + 2}{2} = 5 ]

Теперь у нас есть три корня уравнения: (x = a), (x = 3), (x = 5). Важно, чтобы эти три корня образовывали арифметическую прогрессию.

Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Пусть (a), (3), и (5) образуют арифметическую прогрессию. Рассмотрим два случая:

1. (a) - первый член прогрессии.
2. (a) - второй член прогрессии.
3. (a) - третий член прогрессии.

1. (a) - первый член прогрессии.

Тогда (a), (a+d), (a+2d) должны быть (a), (3), (5):

[ a = a ] [ a + d = 3 ] [ a + 2d = 5 ]

Решим систему уравнений:

Из второго уравнения: [ d = 3 - a ]

Подставим в третье уравнение: [ a + 2(3 - a) = 5 ] [ a + 6 - 2a = 5 ] [

• a = -1 ] [ a = 1 ]

2. (a) - второй член прогрессии.

Тогда (3), (a), (5):

[ a = 4 ]

3. (a) - третий член прогрессии.

Тогда (3), (5), (a):

[ a = 7 ]

Таким образом, возможные значения (a), при которых уравнение имеет три разных корня, и они образуют арифметическую прогрессию, равны:

1. (a = 1)
2. (a = 4)
3. (a = 7)

Ответ на дополнительный вопрос:

Корни квадратного уравнения (x^2 - 8x + 15 = 0) равны:

[ x_1 = 3 ] [ x_2 = 5 ]

Для того чтобы уравнение имело три разных корня, и они образовывали арифметическую прогрессию, необходимо, чтобы дискриминант был положительным.

Дискриминант квадратного уравнения равен D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -8, c = 15. Подставляем значения:

D = (-8)^2 - 4115 = 64 - 60 = 4

Таким образом, дискриминант равен 4, что больше нуля. Это означает, что уравнение имеет два различных корня.

Чтобы найти значения a, при которых уравнение имеет три разных корня и они образуют арифметическую прогрессию, рассмотрим уравнение (x-a)(x²-8x+15)=0. Учитывая, что у нас есть два корня, а они образуют арифметическую прогрессию, найдем значения a:

1. a = x1 - (x1 - x2) = x2
2. a = x1
3. a = x2

Для уравнения x²-8x+15=0 находим корни:

x1 = 5, x2 = 3

Таким образом, значения a, при которых уравнение имеет три разных корня и они образуют арифметическую прогрессию, будут:

1. a = 3
2. a = 5
3. a = 3