Арифметическая прогрессия и уравнение Дано уравнение: $x-a$$x²-8x+15$=0 Найди те значения a, при которых...

Для начала рассмотрим данное уравнение:

$(x-a)(x^2-8x+15)=0$

Это уравнение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два уравнения:

1. $x-a=0$
2. $x^2-8x+15=0$

Первое уравнение дает нам корень $x=a$.

Теперь найдем корни второго уравнения:

$x^2-8x+15=0$

Для решения этого квадратного уравнения используем формулу для корней квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Здесь $a=1$, $b=-8$, $c=15$. Подставим эти значения в формулу:

$x_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{64-60}}{2}=\frac{8\pm \sqrt{4}}{2}=\frac{8\pm 2}{2}$

Таким образом, корни уравнения:

$x_1=\frac{8-2}{2}=3$ $x_2=\frac{8+2}{2}=5$

Теперь у нас есть три корня уравнения: $x=a$, $x=3$, $x=5$. Важно, чтобы эти три корня образовывали арифметическую прогрессию.

Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Пусть $a$, $3$, и $5$ образуют арифметическую прогрессию. Рассмотрим два случая:

1. $a$ - первый член прогрессии.
2. $a$ - второй член прогрессии.
3. $a$ - третий член прогрессии.

1. $a$ - первый член прогрессии.

Тогда $a$, $a+d$, $a+2d$ должны быть $a$, $3$, $5$:

$a=a$ $a+d=3$ $a+2d=5$

Решим систему уравнений:

Из второго уравнения: $d=3-a$

Подставим в третье уравнение: $a+2(3-a)=5$ $a+6-2a=5$ [

• a = -1 ] $a=1$

2. $a$ - второй член прогрессии.

Тогда $3$, $a$, $5$:

$a=4$

3. $a$ - третий член прогрессии.

Тогда $3$, $5$, $a$:

$a=7$

Таким образом, возможные значения $a$, при которых уравнение имеет три разных корня, и они образуют арифметическую прогрессию, равны:

1. $a=1$
2. $a=4$
3. $a=7$

Ответ на дополнительный вопрос:

Корни квадратного уравнения $x^2-8x+15=0$ равны:

$x_1=3$ $x_2=5$

Для того чтобы уравнение имело три разных корня, и они образовывали арифметическую прогрессию, необходимо, чтобы дискриминант был положительным.

Дискриминант квадратного уравнения равен D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -8, c = 15. Подставляем значения:

D = $-8$^2 - 4115 = 64 - 60 = 4

Таким образом, дискриминант равен 4, что больше нуля. Это означает, что уравнение имеет два различных корня.

Чтобы найти значения a, при которых уравнение имеет три разных корня и они образуют арифметическую прогрессию, рассмотрим уравнение $x-a$$x²-8x+15$=0. Учитывая, что у нас есть два корня, а они образуют арифметическую прогрессию, найдем значения a:

1. a = x1 - $x1-x2$ = x2
2. a = x1
3. a = x2

Для уравнения x²-8x+15=0 находим корни:

x1 = 5, x2 = 3

Таким образом, значения a, при которых уравнение имеет три разных корня и они образуют арифметическую прогрессию, будут:

1. a = 3
2. a = 5
3. a = 3