Бассейн наполняется через первую трубу на 5 часов быстрее, чем через вторую. Бассейн можно наполнить...

Давайте обозначим время, за которое первая труба может наполнить бассейн, как ( x ) часов. Тогда вторая труба будет наполнять бассейн за ( x + 5 ) часов, так как первая труба наполняет его на 5 часов быстрее.

Скорость наполнения первой трубы будет ( \frac{1}{x} ) бассейна в час, а скорость наполнения второй трубы будет ( \frac{1}{x+5} ) бассейна в час.

Согласно условию задачи, если открыть первую трубу на 5 часов, она наполнит часть бассейна, равную ( \frac{5}{x} ). Затем, если открыть вторую трубу на 7,5 часов, она наполнит часть бассейна, равную ( \frac{7.5}{x+5} ).

Сумма этих частей должна равняться 1 (полному бассейну):

[ \frac{5}{x} + \frac{7.5}{x+5} = 1 ]

Теперь решим это уравнение. Для удобства умножим все на ( x(x+5) ), чтобы избавиться от дробей:

[ 5(x+5) + 7.5x = x(x+5) ]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

[ 5x + 25 + 7.5x = x^2 + 5x ]

Сократим ( 5x ) с обеих сторон:

[ 25 + 7.5x = x^2 ]

Перенесем все в одну сторону:

[ x^2 - 7.5x - 25 = 0 ]

Решим квадратное уравнение с использованием дискриминанта. Дискриминант ( D ) равен:

[ D = b^2 - 4ac = (-7.5)^2 - 4 \times 1 \times (-25) = 56.25 + 100 = 156.25 ]

Найдем корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7.5 \pm \sqrt{156.25}}{2} ]

[ \sqrt{156.25} = 12.5 ]

[ x_1 = \frac{7.5 + 12.5}{2} = 10 ]

[ x_2 = \frac{7.5 - 12.5}{2} = -2.5 ]

Поскольку время не может быть отрицательным, принимаем ( x = 10 ) часов. Это время, за которое первая труба наполняет бассейн. Вторая труба наполняет бассейн за ( x + 5 = 15 ) часов.

Теперь найдем время, за которое обе трубы вместе наполнят бассейн. Их совместная скорость будет:

[ \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} ]

Следовательно, обе трубы вместе наполнят бассейн за 6 часов.

Пусть скорость наполнения бассейна через первую трубу равна (x) и через вторую трубу равна (y).

Тогда время, за которое первая труба наполняет бассейн, равно (\frac{1}{x}), а время, за которое вторая труба наполняет бассейн, равно (\frac{1}{y}).

Условие задачи можно записать в виде уравнения: [ \frac{1}{x} = \frac{1}{y} - 5 ] [ \frac{1}{x} = \frac{1}{y} - \frac{20}{2y} = \frac{2y-20}{2y} ]

Также из условия задачи известно, что время, за которое первая труба наполняет бассейн, равно 5 часам, а время, за которое вторая труба наполняет бассейн, равно 7.5 часам: [ \frac{1}{x} = \frac{1}{5} = 0.2 ] [ \frac{1}{y} = \frac{1}{7.5} = 0.1333 ]

Теперь можем составить уравнение на совместную работу обеих труб: [ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{t} ] [ 0.2 + 0.1333 = \frac{1}{t} ] [ 0.3333 = \frac{1}{t} ] [ t = \frac{1}{0.3333} \approx 3 ]

Итак, бассейн наполнится за 3 часа при совместной работе обеих труб.