Бассейн наполняется через первую трубу на 5 часов быстрее, чем через вторую. Бассейн можно наполнить...

Давайте обозначим время, за которое первая труба может наполнить бассейн, как $x$ часов. Тогда вторая труба будет наполнять бассейн за $x+5$ часов, так как первая труба наполняет его на 5 часов быстрее.

Скорость наполнения первой трубы будет $\frac{1}{x}$ бассейна в час, а скорость наполнения второй трубы будет $\frac{1}{x+5}$ бассейна в час.

Согласно условию задачи, если открыть первую трубу на 5 часов, она наполнит часть бассейна, равную $\frac{5}{x}$. Затем, если открыть вторую трубу на 7,5 часов, она наполнит часть бассейна, равную $\frac{7.5}{x+5}$.

Сумма этих частей должна равняться 1 $полномубассейну$:

$\frac{5}{x}+\frac{7.5}{x+5}=1$

Теперь решим это уравнение. Для удобства умножим все на $x(x+5$ ), чтобы избавиться от дробей:

$5(x+5)+7.5x=x(x+5)$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$5x+25+7.5x=x^2+5x$

Сократим $5x$ с обеих сторон:

$25+7.5x=x^2$

Перенесем все в одну сторону:

$x^2-7.5x-25=0$

Решим квадратное уравнение с использованием дискриминанта. Дискриминант $D$ равен:

$D=b^2-4ac=(-7.5{)}^2-4\times 1\times (-25)=56.25+100=156.25$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{7.5\pm \sqrt{156.25}}{2}$

$\sqrt{156.25}=12.5$

$x_1=\frac{7.5+12.5}{2}=10$

$x_2=\frac{7.5-12.5}{2}=-2.5$

Поскольку время не может быть отрицательным, принимаем $x=10$ часов. Это время, за которое первая труба наполняет бассейн. Вторая труба наполняет бассейн за $x+5=15$ часов.

Теперь найдем время, за которое обе трубы вместе наполнят бассейн. Их совместная скорость будет:

$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$

Следовательно, обе трубы вместе наполнят бассейн за 6 часов.

Пусть скорость наполнения бассейна через первую трубу равна $x$ и через вторую трубу равна $y$.

Тогда время, за которое первая труба наполняет бассейн, равно $\frac{1}{x}$, а время, за которое вторая труба наполняет бассейн, равно $\frac{1}{y}$.

Условие задачи можно записать в виде уравнения: $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}-5$ $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}-\frac{20}{2y}=\frac{2y-20}{2y}$

Также из условия задачи известно, что время, за которое первая труба наполняет бассейн, равно 5 часам, а время, за которое вторая труба наполняет бассейн, равно 7.5 часам: $\frac{1}{x}=\frac{1}{5}=0.2$ $\frac{1}{y}=\frac{1}{7.5}=0.1333$

Теперь можем составить уравнение на совместную работу обеих труб: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{t}$ $0.2+0.1333=\frac{1}{t}$ $0.3333=\frac{1}{t}$ $t=\frac{1}{0.3333}\approx 3$

Итак, бассейн наполнится за 3 часа при совместной работе обеих труб.