Бином ньютона (х-1)^7

Бином Ньютона (х-1)^7 раскрывается следующим образом: (х-1)^7 = x^7 - 7x^6 + 21x^5 - 35x^4 + 35x^3 - 21x^2 + 7x - 1.

Чтобы разложить выражение ((x - 1)^7) с помощью бинома Ньютона, воспользуемся теоремой бинома Ньютона, которая гласит:

[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k ]

Где (\binom{n}{k}) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} ]

В данном случае (a = x), (b = -1), и (n = 7). Подставим эти значения в формулу:

[ (x - 1)^7 = \sum_{k=0}^{7} \binom{7}{k} x^{7-k} (-1)^k ]

Теперь разложим это выражение, вычисляя каждый из членов суммы:

1. Для (k = 0):

[ \binom{7}{0} x^{7-0} (-1)^0 = 1 \cdot x^7 \cdot 1 = x^7 ]

1. Для (k = 1):

[ \binom{7}{1} x^{7-1} (-1)^1 = 7 \cdot x^6 \cdot (-1) = -7x^6 ]

1. Для (k = 2):

[ \binom{7}{2} x^{7-2} (-1)^2 = 21 \cdot x^5 \cdot 1 = 21x^5 ]

1. Для (k = 3):

[ \binom{7}{3} x^{7-3} (-1)^3 = 35 \cdot x^4 \cdot (-1) = -35x^4 ]

1. Для (k = 4):

[ \binom{7}{4} x^{7-4} (-1)^4 = 35 \cdot x^3 \cdot 1 = 35x^3 ]

1. Для (k = 5):

[ \binom{7}{5} x^{7-5} (-1)^5 = 21 \cdot x^2 \cdot (-1) = -21x^2 ]

1. Для (k = 6):

[ \binom{7}{6} x^{7-6} (-1)^6 = 7 \cdot x^1 \cdot 1 = 7x ]

1. Для (k = 7):

[ \binom{7}{7} x^{7-7} (-1)^7 = 1 \cdot 1 \cdot (-1) = -1 ]

Теперь соберем все члены вместе:

[ (x - 1)^7 = x^7 - 7x^6 + 21x^5 - 35x^4 + 35x^3 - 21x^2 + 7x - 1 ]

Таким образом, разложение выражения ((x - 1)^7) с использованием бинома Ньютона дает нам многочлен:

[ x^7 - 7x^6 + 21x^5 - 35x^4 + 35x^3 - 21x^2 + 7x - 1 ]

Бином Ньютона - это формула для разложения степенной функции вида (а + b)^n, где a и b - произвольные числа, а n - натуральное число. В данном случае у нас есть (х-1)^7, что означает, что a = x, b = -1 и n = 7.

Применим формулу Бинома Ньютона: (х-1)^7 = C(7,0)x^7(-1)^0 + C(7,1)x^6(-1)^1 + C(7,2)x^5(-1)^2 + C(7,3)x^4(-1)^3 + C(7,4)x^3(-1)^4 + C(7,5)x^2(-1)^5 + C(7,6)x(-1)^6 + C(7,7)(-1)^7

Где C(n, k) - биномиальный коэффициент (число сочетаний), равный n! / (k! * (n-k)!) для натурального n и k.

После раскрытия скобок получим: (х-1)^7 = x^7 - 7x^6 + 21x^5 - 35x^4 + 35x^3 - 21x^2 + 7x - 1

Таким образом, бином Ньютона (х-1)^7 раскрывается в полином 7-й степени с коэффициентами 1, -7, 21, -35, 35, -21, 7, -1.