Бригада рабочих могут выполнить всю работу за 24 часа, если бы работали одновременно все рабочие. однако...

Для решения задачи начнем с обозначений и постепенного анализа каждого условия.

Обозначим количество рабочих в бригаде через ( n ).

1. Если все рабочие работают одновременно, то они могут выполнить всю работу за 24 часа. Это значит, что общая работа равна ( n \times 24 ) рабочих-часов.

2. По плану в первый час работал один рабочий, во второй час - два рабочих, в третий - три рабочих и так далее, пока все рабочие не включились в работу. Это значит, что в ( n )-ый час работало ( n ) рабочих. Время работы после включения всех рабочих не указано, но известно, что в последние часы работала вся бригада.

3. Время работы по плану сокращено на 6 часов, если бы с самого начала работала вся бригада за исключением 5 рабочих. То есть, если бы работало ( n - 5 ) рабочих, то на выполнение всей работы потребовалось бы ( x - 6 ) часов, где ( x ) - время работы по первоначальному плану.

Теперь составим уравнения на основе этих условий.

1. Первоначальный план

Сначала вычислим работу, выполненную за ( n ) часов, когда количество рабочих увеличивается с каждым часом. За ( n ) часов, когда количество рабочих от 1 до ( n ), они выполнят:

[ 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2} \text{ рабочих-часов} ]

Работа, оставшаяся после ( n ) часов, будет:

[ n \times (x - n) \text{ рабочих-часов} ]

2. Общая работа равна:

[ \frac{n(n+1)}{2} + n \times (x - n) = n \times 24 ]

3. Альтернативный план

Если бы работала вся бригада за исключением 5 рабочих, то:

[ (n - 5) \times (x - 6) = n \times 24 ]

Решение системы уравнений

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. ( \frac{n(n+1)}{2} + n(x - n) = 24n )
2. ( (n - 5)(x - 6) = 24n )

Разберем первое уравнение: [ \frac{n(n+1)}{2} + nx - n^2 = 24n ] [ \frac{n^2 + n}{2} + nx - n^2 = 24n ] Умножим всё на 2 для удобства: [ n^2 + n + 2nx - 2n^2 = 48n ] [ -n^2 + 2nx + n = 48n ] [ -n^2 + 2nx = 47n ] [ n(-n + 2x) = 47n ] ((n \neq 0)): [ -n + 2x = 47 ] [ 2x = n + 47 ] [ x = \frac{n + 47}{2} ]

Теперь подставим ( x ) во второе уравнение: [ (n - 5)\left(\frac{n + 47}{2} - 6\right) = 24n ] [ (n - 5)\left(\frac{n + 47 - 12}{2}\right) = 24n ] [ (n - 5)\left(\frac{n + 35}{2}\right) = 24n ] [ \frac{(n - 5)(n + 35)}{2} = 24n ] Умножим всё на 2: [ (n - 5)(n + 35) = 48n ] [ n^2 + 35n - 5n - 175 = 48n ] [ n^2 + 30n - 175 = 48n ] [ n^2 - 18n - 175 = 0 ]

Решим квадратное уравнение: [ n = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \cdot 175}}{2} ] [ n = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 700}}{2} ] [ n = \frac{18 \pm \sqrt{1024}}{2} ] [ n = \frac{18 \pm 32}{2} ]

[ n = \frac{50}{2} = 25 ] или [ n = \frac{-14}{2} = -7 ] (отрицательное значение не подходит)

Таким образом, в бригаде 25 рабочих.

Пусть количество рабочих в бригаде равно ( n ). Тогда согласно условию задачи, время работы, предусмотренное планом, равно 24 часам. Это значит, что общее количество работы также равно 24 единицам.

Если бы все рабочие работали одновременно, то они выполнили бы работу за 1 час. Следовательно, их совместная производительность равна 1/24 работы в час.

Теперь давайте рассмотрим ситуацию, когда работают все рабочие, за исключением 5. В этом случае время работы было бы сокращено на 6 часов, то есть рабочие завершили бы работу за 18 часов. Это означает, что их совместная производительность составляет 1/18 работы в час.

Теперь посчитаем, сколько работы выполняют 5 рабочих за 6 часов. Их совместная производительность равна 1/6 работы в час. Это значит, что 5 рабочих за 6 часов выполняют 5/6 работы.

Теперь вернемся к ситуации, когда работают все рабочие (n) за 18 часов. Они выполняют всю работу, то есть 1 работу. Но мы знаем, что если бы они работали все вместе с самого начала, то работа была бы выполнена за 24 - 6 = 18 часов. Следовательно, работники n за 18 часов выполняют 1 работу - 5/6 работы.

Теперь мы можем записать уравнение: ( \frac{n}{18} = \frac{5}{6} ) ( n = 15 )

Итак, в бригаде рабочих 15 человек.