Числитель обыкновенной дроби на два меньше знаменателя . Если числитель увеличить на 1 а знаменатель...

Пускай данная дробь будет ( \frac{x}{x+2} ). Тогда после увеличения числителя на 1 и знаменателя на 3, мы получим дробь ( \frac{x+1}{x+5} ). Условие говорит, что эти дроби равны, так что:

[ \frac{x}{x+2} = \frac{x+1}{x+5} ]

Решаем уравнение:

[ x(x+5) = (x+1)(x+2) ]

[ x^2 + 5x = x^2 + 3x + 2 ]

[ 5x = 3x + 2 ]

[ 2x = 2 ]

[ x = 1 ]

Таким образом, данная дробь равна ( \frac{1}{3} ).

Пусть дана обыкновенная дробь $\frac{x}{y}$, где $x$ - числитель, $y$ - знаменатель.

Условие задачи гласит, что числитель на два меньше знаменателя: $x = y - 2$.

Также условие задачи гласит, что если числитель увеличить на 1 и знаменатель увеличить на 3, то получится дробь, равная данной: $\frac{x+1}{y+3} = \frac{x}{y}$.

Подставляем $x = y - 2$ во второе уравнение:

$\frac{y-2+1}{y+3} = \frac{y-2}{y}$.

Упрощаем выражение:

$\frac{y-1}{y+3} = \frac{y-2}{y}$.

Умножаем обе части уравнения на $y(y+3)$ для устранения знаменателей:

$y(y+3)(y-1) = (y-2)(y)(y+3)$.

Раскрываем скобки и упрощаем:

$y(y^2 + 3y - y - 3) = y(y^2 + 3y - 2y - 6)$.

$y(y^2 + 2y - 3) = y(y^2 + y - 6)$.

$y^3 + 2y^2 - 3y = y^3 + y^2 - 6y$.

$y^2 - 4y = 0$.

$y(y - 4) = 0$.

Отсюда получаем два возможных решения: $y = 0$ или $y = 4$. Так как знаменатель не может быть равен нулю, то $y = 4$.

Подставляем $y = 4$ в уравнение $x = y - 2$ и находим числитель:

$x = 4 - 2$.

$x = 2$.

Итак, искомая дробь равна $\frac{2}{4}$ или $\frac{1}{2}$.

Для решения задачи составим таблицу и систему уравнений, чтобы найти числитель и знаменатель дроби.

Обозначим числитель дроби за ( x ) и знаменатель за ( y ). Из условия задачи известно следующее:

1. Числитель на два меньше знаменателя: [ x = y - 2 ]

2. Если числитель увеличить на 1, а знаменатель увеличить на 3, то получится дробь, равная данной: [ \frac{x + 1}{y + 3} = \frac{x}{y} ]

Теперь заполним таблицу на основе этих уравнений.

[ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Числитель} & x \ \hline \text{Знаменатель} & y \ \hline \end{array} ]

Теперь решим систему уравнений:

1. Из первого уравнения ( x = y - 2 ).

2. Подставим ( x = y - 2 ) во второе уравнение: [ \frac{(y - 2) + 1}{y + 3} = \frac{y - 2}{y} ]

   Упростим числитель в левой части: [ \frac{y - 1}{y + 3} = \frac{y - 2}{y} ]

3. Применим перекрестное умножение, чтобы избавиться от дробей: [ (y - 1) \cdot y = (y - 2) \cdot (y + 3) ]

4. Раскроем скобки: [ y^2 - y = y^2 + 3y - 2y - 6 ]

5. Упростим уравнение: [ y^2 - y = y^2 + y - 6 ]

6. Уберем ( y^2 ) с обеих сторон: [ -y = y - 6 ]

7. Перенесем все члены с ( y ) влево: [ -y - y = -6 ]

8. Упростим: [ -2y = -6 ]

9. Разделим обе части на -2: [ y = 3 ]

Теперь найдем ( x ) подставив ( y = 3 ) в первое уравнение: [ x = y - 2 = 3 - 2 = 1 ]

Следовательно, данная дробь — это (\frac{1}{3}).