Число 63 представьте в виде суммы трех положительных чисел так,чтобы два из них были пропорциональны...

Давайте решим данную задачу. Мы должны представить число 63 в виде суммы трех положительных чисел (a), (b) и (c), причём (a) и (b) должны быть пропорциональны числам 1 и 2 соответственно. Таким образом, можно записать (b = 2a). Тогда (a + 2a + c = 63), откуда следует (3a + c = 63). Выразим (c) через (a): (c = 63 - 3a).

Теперь нам нужно максимизировать произведение (abc), которое равно (a \cdot 2a \cdot (63 - 3a) = 2a^2(63 - 3a)). Для максимизации этого выражения найдем его производную и приравняем к нулю. Производная функции (f(a) = 2a^2(63 - 3a)) по (a) равна: [ f'(a) = 4a(63 - 3a) - 6a^2 = 252a - 18a^2 ] Приравниваем к нулю: [ 252a - 18a^2 = 0 ] [ 18a^2 - 252a = 0 ] [ a^2 - 14a = 0 ] [ a(a - 14) = 0 ] Отсюда (a = 0) или (a = 14). Так как (a) должно быть положительным, выбираем (a = 14). Тогда (b = 2a = 28) и (c = 63 - 3a = 63 - 42 = 21).

Проверим, действительно ли это дает наибольшее произведение. Подставим значения в произведение: [ abc = 14 \cdot 28 \cdot 21 = 8232 ]

Для убежденности можно проверить вторую производную (f''(a)), чтобы убедиться, что это максимум. [ f''(a) = 252 - 36a ] Подставим (a = 14): [ f''(14) = 252 - 36 \cdot 14 = 252 - 504 = -252 ] Вторая производная отрицательна, поэтому в точке (a = 14) действительно максимум функции.

Итак, максимальное произведение трех чисел, сумма которых равна 63 и два из которых пропорциональны 1 и 2, достигается, когда эти числа равны 14, 28 и 21 соответственно.

Давайте обозначим эти три числа как x, y и z. По условию, два из них должны быть пропорциональны числам 1 и 2, то есть x = 1k и y = 2k, где k - некоторое положительное число. Тогда третье число z = 63 - x - y = 63 - k - 2k = 63 - 3k.

Теперь нам нужно найти произведение этих трех чисел и максимизировать его. Произведение P = xyz = (k)(2k)(63-3k) = 126k(63-3k) = 126k63 - 378k^2 = 7938k - 378k^2.

Для максимизации этого произведения, мы можем воспользоваться производной функции P по переменной k. Найдем производную и приравняем ее к нулю:

dP/dk = 7938 - 756k = 0 756k = 7938 k = 10.5

Таким образом, наибольшее произведение будет достигаться при k = 10.5. Подставим это значение обратно в наше выражение для x, y и z:

x = 110.5 = 10.5 y = 210.5 = 21 z = 63 - 10.5 - 21 = 31.5

Следовательно, число 63 можно представить в виде суммы трех положительных чисел 10.5, 21 и 31.5, где два из чисел (10.5 и 21) пропорциональны числам 1 и 2, а произведение этих трех чисел будет наибольшим.

Пусть эти числа будут x, 2x и 3x. Тогда x + 2x + 3x = 6x = 63. Следовательно, x = 10.5. Таким образом, числа будут 10.5, 21 и 31.5.