Число72 представьте в виде суммы трёх положительных чисел, так чтобы два из них были равны между собой,...

Число 72 можно представить в виде суммы 12, 12 и 48. Сумма квадратов этих чисел будет минимальной.

Для решения этой задачи нам нужно найти такие три числа ( a ), ( b ) и ( c ), где ( a = b ), и ( a + a + c = 72 ) (то есть ( 2a + c = 72 )), а сумма квадратов ( a^2 + a^2 + c^2 ) минимальна.

1. Выразим ( c ) через ( a ): [ c = 72 - 2a ]

2. Подставим ( c ) в выражение для суммы квадратов: [ a^2 + a^2 + (72 - 2a)^2 ] [ 2a^2 + (72 - 2a)^2 ]

3. Раскроем квадрат и упростим выражение: [ 2a^2 + (5184 - 288a + 4a^2) ] [ 6a^2 - 288a + 5184 ]

4. Найдем минимальное значение данного квадратного выражения, для этого найдем производную и приравняем ее к нулю: [ \frac{d}{da}(6a^2 - 288a + 5184) = 12a - 288 = 0 ] [ 12a = 288 ] [ a = 24 ]

5. Теперь найдем ( c ): [ c = 72 - 2 \times 24 = 24 ]

Таким образом, числа 24, 24 и 24 являются решением задачи. Они удовлетворяют условию ( a = b ) и ( 2a + c = 72 ), и минимизируют сумму квадратов ( 2a^2 + c^2 ), так как: [ 2 \times 24^2 + 24^2 = 48 \times 24 + 24^2 = 1728 ]

Это решение подходит, так как все числа положительны и сумма квадратов равна 1728, что является минимально возможным значением в данной ситуации.

Представим число 72 в виде суммы трех положительных чисел, два из которых равны между собой. Обозначим эти два числа как x, а третье число как y. Тогда имеем уравнение:

2x + y = 72

Также условие задачи требует, чтобы сумма квадратов этих трех чисел была наименьшей. Сумма квадратов чисел x и y обозначается как x^2 + x^2 + y^2 = 2x^2 + y^2.

Для нахождения минимума суммы квадратов воспользуемся методом дифференциального исчисления. Для этого продифференцируем выражение 2x^2 + y^2 по переменным x и y и приравняем полученные производные к нулю. Получим систему уравнений:

∂(2x^2 + y^2)/∂x = 4x = 0 ∂(2x^2 + y^2)/∂y = 2y = 0

Отсюда находим, что x = 0 и y = 0. Однако, по условию задачи числа должны быть положительными. Поэтому рассмотрим случай, когда x и y не равны нулю. Так как сумма чисел равна 72, то x = 36 и y = 36. Таким образом, числа 36, 36 и 0 удовлетворяют условиям задачи.

Итак, число 72 можно представить в виде суммы трех положительных чисел, два из которых равны между собой, а сумма квадратов этих чисел будет минимальной: 36 + 36 + 0 = 72.