Cos 135°cos 105° помагите

Чтобы вычислить ( \cos 135^\circ \cos 105^\circ ), воспользуемся значениями косинусов:

[ \cos 135^\circ = -\frac{1}{\sqrt{2}} \quad \text{и} \quad \cos 105^\circ = -\cos 15^\circ = -\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) ]

Теперь подставим значения:

[ \cos 135^\circ \cos 105^\circ = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \left(-\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4\sqrt{2}} ]

Таким образом, конечный ответ:

[ \cos 135^\circ \cos 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4\sqrt{2}} ]

Чтобы вычислить произведение (\cos(135^\circ) \cdot \cos(105^\circ)), начнем с определения значений косинусов этих углов.

1. Нахождение (\cos(135^\circ)): Угол (135^\circ) находится во втором квадранте, где косинус отрицательный. Мы можем выразить его как: [ \cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) ] Зная, что (\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}), получаем: [ \cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]

2. Нахождение (\cos(105^\circ)): Угол (105^\circ) также находится во втором квадранте. Мы можем выразить его как: [ \cos(105^\circ) = \cos(90^\circ + 15^\circ) = -\sin(15^\circ) ] Для нахождения значения (\sin(15^\circ)) можно воспользоваться формулой разности углов: [ \sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ ] Подставляя известные значения: (\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}), (\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}), (\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}), (\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}), получаем: [ \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ] Таким образом, мы имеем: [ \cos(105^\circ) = -\sin(15^\circ) = -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ]

3. Перемножаем значения: Теперь можем подставить найденные значения в исходное произведение: [ \cos(135^\circ) \cdot \cos(105^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) ] Упрощаем: [ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8} ] Раскроем скобки: [ = \frac{\sqrt{12} - 2}{8} = \frac{2\sqrt{3} - 2}{8} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{8} = \frac{\sqrt{3} - 1}{4} ]

Таким образом, окончательный ответ: [ \cos(135^\circ) \cdot \cos(105^\circ) = \frac{\sqrt{3} - 1}{4} ]

Для вычисления произведения ( \cos 135^\circ \cdot \cos 105^\circ ), можно воспользоваться тригонометрическими формулами. В данном случае уместно применить формулу для произведения косинусов:

[ \cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left( \cos(A + B) + \cos(A - B) \right). ]

Шаг 1. Применение формулы

Подставим ( A = 135^\circ ) и ( B = 105^\circ ) в формулу:

[ \cos 135^\circ \cdot \cos 105^\circ = \frac{1}{2} \left( \cos(135^\circ + 105^\circ) + \cos(135^\circ - 105^\circ) \right). ]

Шаг 2. Упрощение аргументов

Сложим и вычтем углы:

• ( 135^\circ + 105^\circ = 240^\circ ),
• ( 135^\circ - 105^\circ = 30^\circ ).

Теперь формула становится:

[ \cos 135^\circ \cdot \cos 105^\circ = \frac{1}{2} \left( \cos 240^\circ + \cos 30^\circ \right). ]

Шаг 3. Вычисление значений косинусов

1. ( \cos 240^\circ ): угол ( 240^\circ ) находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Его значение: [ \cos 240^\circ = -\cos(240^\circ - 180^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}. ]

2. ( \cos 30^\circ ): угол ( 30^\circ ) находится в первой четверти, где косинус положителен. Его значение: [ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}. ]

Подставляем эти значения в формулу:

[ \cos 135^\circ \cdot \cos 105^\circ = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right). ]

Шаг 4. Приведение к общему знаменателю

В скобках: [ -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}. ]

Теперь выражение становится:

[ \cos 135^\circ \cdot \cos 105^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}. ]

Умножение дробей:

[ \cos 135^\circ \cdot \cos 105^\circ = \frac{-1 + \sqrt{3}}{4}. ]

Ответ:

[ \cos 135^\circ \cdot \cos 105^\circ = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}. ]