Cos2x cosx+sin2x sinx=0

Для решения данного уравнения, можно воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Используем формулы двойного угла: cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Подставим эти значения в уравнение: (cos^2(x) - sin^2(x))cos(x) + 2sin(x)cos(x)sin(x) = 0

Раскроем скобки: cos^3(x) - sin^2(x)cos(x) + 2sin(x)cos^2(x) = 0

Перегруппируем члены: cos^3(x) + 2sin(x)cos^2(x) - sin^2(x)cos(x) = 0

Факторизуем: cos(x)(cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) - sin^2(x)) = 0

Получаем: cos(x)(cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x)) = 0

Таким образом, уравнение имеет три решения: 1) cos(x) = 0 2) cos(x) + sin(x) = 0 3) cos(x) - sin(x) = 0

Далее решаем каждое уравнение отдельно и находим значения x.

Cos2x cosx+sin2x sinx=0

cos(2x) cos(x) + sin(2x) sin(x) = 0

cos(2x) cos(x) = -sin(2x) sin(x)

(cos^2(x) - sin^2(x)) cos(x) = -2sin(x)cos(x) sin(x)

cos^3(x) - cos(x)sin^2(x) = -2sin(x)cos^2(x)

cos^3(x) - cos(x)(1-cos^2(x)) = -2(1-cos^2(x))cos^2(x)

cos^3(x) - cos(x) + cos^3(x) = -2cos^2(x) + 2cos^4(x)

2cos^3(x) - cos(x) = -2cos^2(x) + 2cos^4(x)

2cos^4(x) + 2cos^2(x) - 2cos^3(x) + cos(x) = 0

2cos^2(x)(cos^2(x) + 1) - cos(x)(2cos^2(x) + 1) = 0

(cos^2(x) - cos(x))(2cos^2(x) + 1) = 0

cos(x)(cos(x) - 1)(2cos(x) + 1) = 0

cos(x) = 0, cos(x) = 1, cos(x) = -1/2

Ответ: x = π/2 + πk, x = 2πk, x = 2π/3 + 2πk, x = 4π/3 + 2πk, где k - целое число.

Для решения уравнения (\cos(2x) \cos(x) + \sin(2x) \sin(x) = 0), можно использовать тригонометрические тождества. В частности, обратим внимание на тождество для косинуса разности:

[ \cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b). ]

В нашем случае, это тождество можно применить напрямую:

[ \cos(2x) \cos(x) + \sin(2x) \sin(x) = \cos(2x - x) = \cos(x). ]

Таким образом, уравнение сводится к:

[ \cos(x) = 0. ]

Теперь решим уравнение (\cos(x) = 0). Косинус обращается в ноль в точках:

[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, ]

где (n) — любое целое число. Это происходит потому, что косинус функции имеет период (2\pi), и его нули находятся на расстоянии (\pi) друг от друга, начиная с (\pi/2).

Следовательно, общее решение уравнения (\cos(2x) \cos(x) + \sin(2x) \sin(x) = 0) будет:

[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Это и есть полный набор решений для данного тригонометрического уравнения.