Cos3a + cosa/ 2cosa + 2sin^2a

Давайте разберём выражение (\frac{\cos 3a + \cos a}{2 \cos a + 2 \sin^2 a}) более детально.

Начнём с числителя: (\cos 3a + \cos a).

Используем формулу для косинуса тройного угла: [ \cos 3a = 4 \cos^3 a - 3 \cos a. ] Подставляем эту формулу в числитель: [ \cos 3a + \cos a = (4 \cos^3 a - 3 \cos a) + \cos a = 4 \cos^3 a - 2 \cos a. ]

Теперь рассмотрим знаменатель: (2 \cos a + 2 \sin^2 a).

Используем основное тригонометрическое тождество: (\sin^2 a = 1 - \cos^2 a). Подставляем это в знаменатель: [ 2 \cos a + 2 \sin^2 a = 2 \cos a + 2 (1 - \cos^2 a) = 2 \cos a + 2 - 2 \cos^2 a. ]

Теперь у нас есть упрощённые выражения для числителя и знаменателя: [ \frac{4 \cos^3 a - 2 \cos a}{2 \cos a + 2 - 2 \cos^2 a}. ]

Вынесем общий множитель из числителя и знаменателя для дальнейшего упрощения.

Числитель: [ 4 \cos^3 a - 2 \cos a = 2 \cos a (2 \cos^2 a - 1). ]

Знаменатель: [ 2 \cos a + 2 - 2 \cos^2 a = 2 ( \cos a + 1 - \cos^2 a). ]

Таким образом, наше выражение становится: [ \frac{2 \cos a (2 \cos^2 a - 1)}{2 (\cos a + 1 - \cos^2 a)}. ]

Сократим на 2: [ \frac{\cos a (2 \cos^2 a - 1)}{\cos a + 1 - \cos^2 a}. ]

Заметим, что (\cos a) является общим множителем, и если (\cos a \neq 0), можно его сократить: [ \frac{2 \cos^2 a - 1}{1 - \cos^2 a + \cos a}. ]

Далее упростим знаменатель: [ 1 - \cos^2 a + \cos a = \sin^2 a + \cos a. ]

Таким образом, наше выражение становится: [ \frac{2 \cos^2 a - 1}{\sin^2 a + \cos a}. ]

Это окончательное упрощённое выражение для заданного тригонометрического выражения.

Для расшифровки данного выражения, прежде всего, воспользуемся формулами тригонометрии.

1. Сначала преобразуем cos3a: cos3a = cos(2a + a) = cos2acosa - sin2asina = (2cos^2a - 1)cosa - 2sin^2acosa

2. Теперь раскроем числитель и знаменатель: Cos3a + cosa = (2cos^2a - 1)cosa - 2sin^2acosa + cosa = 2cos^3a - cosa - 2sin^2a*cosa = cosa(2cos^2a - 1 - 2sin^2a) = cosa(2cos^2a - 2sin^2a - 1)

3. Далее подставим в полученный результат выражение 2cos^2a - 2sin^2a = 2(cos^2a - sin^2a) = 2cos2a: cosa(2cos2a - 1)

4. Теперь рассмотрим знаменатель: 2cosa + 2sin^2a = 2cosa(1 + sin^2a) = 2cosa*cos^2a

Таким образом, исходное выражение Cos3a + cosa / 2cosa + 2sin^2a равно: cosa(2cos2a - 1) / 2cosa*cos^2a = (2cos2a - 1) / 2cos^2a = 2cos2a / 2cos^2a - 1 / 2cos^2a = cot2a - 1 / 2cos^2a

Это и есть расширенный ответ на данный вопрос.

Cos3a + cosa/ 2cosa + 2sin^2a = 2cosa