Cos(3x+pi/6)=-корень из 3/2 Помогите пожалуйста решить уравнение

Рассмотрим уравнение:

[ \cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}. ]

Для решения этого уравнения будем использовать свойства и формулы тригонометрических функций.

Шаг 1: Вспомним свойства косинуса

Косинус принимает значение (-\frac{\sqrt{3}}{2}) в двух точках на единичной окружности в пределах одного полного оборота ( [0, 2\pi) ). Эти углы равны:

[ \theta_1 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}, \quad \theta_2 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}. ]

Здесь мы используем тот факт, что косинус отрицателен во втором и третьем квадрантах.

Шаг 2: Общий вид решения для косинуса

Функция косинус периодическая, и её значение повторяется через полный период ( 2\pi ). Поэтому общий вид углов, при которых (\cos(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}), будет:

[ \theta = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad \theta = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, ]

где (k) — целое число, представляющее номер периода.

Шаг 3: Переход к уравнению

Вместо (\theta) у нас стоит выражение (3x + \frac{\pi}{6}). Подставляем его в общий вид решения:

[ 3x + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad 3x + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k. ]

Шаг 4: Решение первого уравнения

Рассмотрим сначала первое уравнение:

[ 3x + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k. ]

Вычтем (\frac{\pi}{6}) из обеих частей:

[ 3x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{4\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k. ]

Теперь разделим обе части на (3), чтобы найти (x):

[ x = \frac{\frac{2\pi}{3}}{3} + \frac{2\pi k}{3} = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}. ]

Шаг 5: Решение второго уравнения

Теперь рассмотрим второе уравнение:

[ 3x + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k. ]

Вычтем (\frac{\pi}{6}) из обеих частей:

[ 3x = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{6\pi}{6} + 2\pi k = \pi + 2\pi k. ]

Теперь делим обе части на (3):

[ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}. ]

Шаг 6: Общий результат

Объединим оба решения. Общий вид решения уравнения:

[ x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}, ]

или

[ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Это и есть все решения уравнения.

Для решения уравнения ( \cos(3x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ) начнем с определения, при каких углах косинус равен (-\frac{\sqrt{3}}{2}).

Косинус принимает значение (-\frac{\sqrt{3}}{2}) в следующих углах: [ 3x + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad 3x + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, ] где ( k ) — целое число.

Теперь разберем каждое из этих уравнений по отдельности.

1. Первое уравнение: [ 3x + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi. ] Вычтем ( \frac{\pi}{6} ) из обеих сторон: [ 3x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi, ] [ 3x = \frac{4\pi}{6} + 2k\pi, ] [ 3x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi. ] Теперь разделим обе стороны на 3: [ x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}. ]

2. Второе уравнение: [ 3x + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi. ] Аналогично, вычтем ( \frac{\pi}{6} ) из обеих сторон: [ 3x = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi, ] [ 3x = \frac{6\pi}{6} + 2k\pi, ] [ 3x = \pi + 2k\pi. ] Делим на 3: [ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}. ]

Таким образом, у нас есть два обобщенных решения для ( x ):

1. ( x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} )
2. ( x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} )

Эти решения представляют собой все углы ( x ), которые удовлетворяют изначальному уравнению.