Cos(п/2+2x)=корень из 2 sin x срочно 25баллов

Для решения данного уравнения нам необходимо использовать формулу тригонометрического тождества для cos(a+b):

cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b

Подставим значения a = п/2 и b = 2x:

cos(p/2 + 2x) = cos(p/2) cos(2x) - sin(p/2) sin(2x) cos(p/2) = 0, sin(p/2) = 1

Таким образом, уравнение принимает вид:

0 cos(2x) - 1 sin(2x) = √2 sin x -sin(2x) = √2 sin x sin(2x) = -√2 * sin x

Используем формулу удвоенного угла для синуса:

sin(2x) = 2 sin x cos x

Подставляем полученное выражение в уравнение:

2 sin x cos x = -√2 * sin x

Делим обе части на sin x (учитываем, что sin x ≠ 0):

2 * cos x = -√2 cos x = -√2 / 2 cos x = -√2 / 2

Таким образом, решение уравнения Cos(п/2+2x) = √2 sin x равно cos x = -√2 / 2.

Рассмотрим уравнение (\cos\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) = \sqrt{2} \sin x).

Шаг 1: Преобразование левой части

Используем формулу приведения для косинуса: [ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha ] Следовательно, левая часть уравнения становится: [ \cos\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) = -\sin(2x) ]

Шаг 2: Уравнение после подстановки

Теперь уравнение имеет вид: [ -\sin(2x) = \sqrt{2} \sin x ]

Шаг 3: Преобразование и упрощение

Используем формулу для синуса двойного угла: [ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x ] Таким образом, уравнение становится: [ -2 \sin x \cos x = \sqrt{2} \sin x ]

Шаг 4: Разделим на (\sin x)

При (\sin x \neq 0), можно разделить обе части уравнения на (\sin x): [ -2 \cos x = \sqrt{2} ] [ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]

Шаг 5: Решение уравнения (\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2})

Это уравнение соответствует углам, где косинус равен (-\frac{\sqrt{2}}{2}). Данное значение косинуса принимается в следующих точках на тригонометрической окружности: [ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Шаг 6: Рассмотрение случая (\sin x = 0)

Если (\sin x = 0), то: [ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} ]

Однако, подставляя эти значения в исходное уравнение, мы видим, что они не удовлетворяют уравнению. Значит, (\sin x = 0) не является решением в данном контексте.

Итоговое решение

Таким образом, общее решение уравнения: [ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Краткий ответ: x=π/6.