Cosx-sinx=1 ?

Данное уравнение не имеет решений.

Конечно, давайте рассмотрим уравнение ( \cos x - \sin x = 1 ).

Для начала, заметим, что значения косинуса и синуса для любого угла ( x ) лежат в промежутке от -1 до 1.

Шаг 1: Исследование диапазона значений

Максимальное значение ( \cos x ) равно 1, когда ( x = 0 ) (и другие значения, кратные ( 2\pi )). Однако, в этой же точке ( \sin 0 = 0 ), и тогда ( \cos 0 - \sin 0 = 1 - 0 = 1 ).

Это говорит о том, что при ( x = 0 ) уравнение выполняется. Но давайте проверим, есть ли другие решения.

Шаг 2: Трансформация уравнения

Перепишем уравнение в другом виде: [ \cos x - \sin x = 1 ]

Рассмотрим квадрат обоих частей уравнения: [ (\cos x - \sin x)^2 = 1^2 ] [ \cos^2 x - 2 \cos x \sin x + \sin^2 x = 1 ]

Используя основное тригонометрическое тождество ( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 ), получаем: [ 1 - 2 \cos x \sin x = 1 ]

Отсюда: [ -2 \cos x \sin x = 0 ]

Получаем: [ \cos x \sin x = 0 ]

Шаг 3: Решение уравнения

Уравнение ( \cos x \sin x = 0 ) выполняется, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. ( \cos x = 0 )
2. ( \sin x = 0 )

Рассмотрим случай ( \cos x = 0 ):

[ \cos x = 0 ] при ( x = \frac{\pi}{2} + k\pi ), где ( k ) — целое число.

Подставим в исходное уравнение: [ \cos \left( \frac{\pi}{2} + k\pi \right) - \sin \left( \frac{\pi}{2} + k\pi \right) ] [ 0 - (-1)^k = (-1)^{k+1} ]

Это даст нам значения, равные ( \pm 1 ).

Однако, чтобы уравнение выполнялось, нам нужно ( 1 ), а не (-1), следовательно, ( k ) должен быть чётным (т.е. ( k = 0, 2, 4, . )).

Рассмотрим случай ( \sin x = 0 ):

[ \sin x = 0 ] при ( x = k\pi ), где ( k ) — целое число.

Подставим в исходное уравнение: [ \cos (k\pi) - \sin (k\pi) ] [ (-1)^k - 0 = (-1)^k ]

Чтобы уравнение выполнялось, нам нужно ( 1 ), а не (-1), следовательно, ( k ) должен быть чётным (т.е. ( k = 0, 2, 4, . )).

Вывод

Таким образом, уравнение ( \cos x - \sin x = 1 ) имеет решения при ( x = 2k\pi ), где ( k ) — целое число.

Это можно записать в общем виде: [ x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, полное множество решений уравнения ( \cos x - \sin x = 1 ) — это все углы вида ( x = 2k\pi ), где ( k ) — целое число.

Для решения уравнения cosx - sinx = 1 можно воспользоваться формулами синуса и косинуса суммы углов: cos(x - y) = cos x cos y + sin x sin y sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y

Подставим в уравнение cosx - sinx = 1 значения cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2 (так как cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2), и приведем уравнение к виду суммы косинусов и синусов: cos(π/4) cos x + sin(π/4) sin x = 1 √2/2 cos x + √2/2 sin x = 1 √2/2 * (cos x + sin x) = 1 cos x + sin x = 2/√2 cos x + sin x = √2

Таким образом, уравнение cosx - sinx = 1 имеет решение cos x + sin x = √2.