Cosx/1-sinx + cosx/1+sinx упростить выражение

Для упрощения данного выражения, нам нужно преобразовать каждое слагаемое по отдельности.

1) Рассмотрим слагаемое cosx/(1-sinx):

Для начала умножим числитель и знаменатель на (1+sinx), чтобы избавиться от дроби:

cosx/(1-sinx) = cosx(1+sinx) / (1-sinx)(1+sinx)

          = cosx + cosxsinx / (1-sin^2x)
          = cosx + cos^2xsinx / cos^2x
          = cosx + sinx

2) Рассмотрим слагаемое cosx/(1+sinx):

Аналогично умножим числитель и знаменатель на (1-sinx):

cosx/(1+sinx) = cosx(1-sinx) / (1+sinx)(1-sinx)

          = cosx - cosxsinx / (1-sin^2x)
          = cosx - cos^2xsinx / cos^2x
          = cosx - sinx

Теперь объединим упрощенные слагаемые:

(cosx + sinx) + (cosx - sinx) = 2cosx

Итак, упрощенное выражение равно 2cosx.

Чтобы упростить выражение (\frac{\cos x}{1 - \sin x} + \frac{\cos x}{1 + \sin x}), нужно сначала привести дроби к общему знаменателю и затем упростить числитель.

1. Общий знаменатель: Знаменатели у дробей — ((1 - \sin x)) и ((1 + \sin x)). Общий знаменатель будет равен произведению этих двух выражений: [ (1 - \sin x)(1 + \sin x) = 1 - \sin^2 x ] По тождеству Пифагора, (1 - \sin^2 x = \cos^2 x).

2. Приведение к общему знаменателю: Переписываем исходное выражение с общим знаменателем: [ \frac{\cos x (1 + \sin x)}{\cos^2 x} + \frac{\cos x (1 - \sin x)}{\cos^2 x} ]

3. Упрощение числителя: Раскроем скобки в числителе: [ \cos x (1 + \sin x) + \cos x (1 - \sin x) = \cos x + \cos x \sin x + \cos x - \cos x \sin x ]

   Здесь (\cos x \sin x) и (-\cos x \sin x) сокращаются, и остаётся: [ \cos x + \cos x = 2\cos x ]

4. Упрощение выражения: Подставляем упрощённый числитель обратно в дробь: [ \frac{2\cos x}{\cos^2 x} ]

5. Сокращение: Сокращаем (\cos x) в числителе и знаменателе: [ \frac{2}{\cos x} = 2\sec x ]

Итак, упрощённое выражение равно (2\sec x), где (\sec x) — это секанс, равный (\frac{1}{\cos x}).