Ctg^2a(1-cos2a)+cos^2a

Ответ: 1

Для того чтобы найти значение выражения ctg^2a(1-cos2a) + cos^2a, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Сначала заметим, что ctg^2a = (cos^2a/sin^2a) = cos^2a/sin^2a, а также что cos2a = cos^2a - sin^2a.

Теперь можем переписать исходное выражение: ctg^2a(1-cos2a) + cos^2a = cos^2a/sin^2a (1 - (cos^2a - sin^2a)) + cos^2a = cos^2a/sin^2a (sin^2a) + cos^2a = cos^2a + cos^2a = 2cos^2a.

Итак, значение выражения ctg^2a(1-cos2a) + cos^2a равно 2cos^2a.

Для того чтобы упростить выражение ( \cot^2 a (1 - \cos 2a) + \cos^2 a ), давайте сначала разложим каждый элемент, используя тригонометрические тождества.

1. Разложение (\cos 2a): [ \cos 2a = 2\cos^2 a - 1 ] или [ \cos 2a = 1 - 2\sin^2 a ]

2. Разложение (\cot^2 a): [ \cot^2 a = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} ]

Теперь вернемся к исходному выражению: [ \cot^2 a (1 - \cos 2a) + \cos^2 a ]

Заменим (\cot^2 a) и (\cos 2a): [ \cot^2 a \left(1 - (2\cos^2 a - 1)\right) + \cos^2 a ]

Упрощаем выражение внутри скобок: [ 1 - 2\cos^2 a + 1 = 2 - 2\cos^2 a ] Таким образом выражение преобразуется в: [ \cot^2 a (2 - 2\cos^2 a) + \cos^2 a ]

Теперь заменим (\cot^2 a): [ \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} (2 - 2\cos^2 a) + \cos^2 a ]

Распределим (\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}) внутри скобок: [ \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \cdot 2 - \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \cdot 2\cos^2 a + \cos^2 a ]

Упрощаем каждое из слагаемых: [ \frac{2\cos^2 a}{\sin^2 a} - \frac{2\cos^4 a}{\sin^2 a} + \cos^2 a ]

Теперь объединим всё в одно выражение: [ 2\cot^2 a - 2\cot^2 a \cos^2 a + \cos^2 a ]

Заменим (\cot^2 a) обратно: [ 2\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} - 2\frac{\cos^4 a}{\sin^2 a} + \cos^2 a ]

Теперь приведем к общему знаменателю: [ \frac{2\cos^2 a}{\sin^2 a} - \frac{2\cos^4 a}{\sin^2 a} + \cos^2 a = \frac{2\cos^2 a - 2\cos^4 a + \cos^2 a \sin^2 a}{\sin^2 a} ]

Соберем всё вместе: [ \frac{2\cos^2 a - 2\cos^4 a + \cos^2 a \sin^2 a}{\sin^2 a} ]

Теперь заметим, что (\cos^2 a (1 - \cos^2 a) = \cos^2 a \sin^2 a): [ \frac{2\cos^2 a - 2\cos^4 a + \cos^2 a \sin^2 a}{\sin^2 a} = \frac{\cos^2 a (2 - 2\cos^2 a + \sin^2 a)}{\sin^2 a} ]

Поскольку (2 - 2\cos^2 a + \sin^2 a = 2 - 2\cos^2 a + (1 - \cos^2 a) = 3 - 3\cos^2 a): [ \frac{\cos^2 a (3 - 3\cos^2 a)}{\sin^2 a} ]

[ \frac{\cos^2 a \cdot 3(1 - \cos^2 a)}{\sin^2 a} = 3\frac{\cos^2 a \cdot \sin^2 a}{\sin^2 a} = 3\cos^2 a ]

Итак, окончательный упрощенный вид выражения: [ 3\cos^2 a ]

Таким образом, выражение ( \cot^2 a (1 - \cos 2a) + \cos^2 a ) упрощается до ( 3\cos^2 a ).