Ctg^2a$1-cos2a$+cos^2a

Ответ: 1

Для того чтобы найти значение выражения ctg^2a$1-cos2a$ + cos^2a, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Сначала заметим, что ctg^2a = $co{s}^{2}a/si{n}^{2}a$ = cos^2a/sin^2a, а также что cos2a = cos^2a - sin^2a.

Теперь можем переписать исходное выражение: ctg^2a$1-cos2a$ + cos^2a = cos^2a/sin^2a $1-(co{s}^{2}a-si{n}^{2}a$) + cos^2a = cos^2a/sin^2a $si{n}^{2}a$ + cos^2a = cos^2a + cos^2a = 2cos^2a.

Итак, значение выражения ctg^2a$1-cos2a$ + cos^2a равно 2cos^2a.

Для того чтобы упростить выражение ${\cot }^{2}a(1-\cos 2a$ + \cos^2 a ), давайте сначала разложим каждый элемент, используя тригонометрические тождества.

1. Разложение $\cos 2a$: $\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1$ или $\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a$

2. Разложение ${\cot }^{2}a$: ${\cot }^{2}a=\frac{{\cos }^{2}a}{{\sin }^{2}a}$

Теперь вернемся к исходному выражению: ${\cot }^{2}a(1-\cos 2a)+{\cos }^{2}a$

Заменим ${\cot }^{2}a$ и $\cos 2a$: ${\cot }^{2}a(1-(2{\cos }^{2}a-1))+{\cos }^{2}a$

Упрощаем выражение внутри скобок: $1-2{\cos }^{2}a+1=2-2{\cos }^{2}a$ Таким образом выражение преобразуется в: ${\cot }^{2}a(2-2{\cos }^{2}a)+{\cos }^{2}a$

Теперь заменим ${\cot }^{2}a$: $\frac{{\cos }^{2}a}{{\sin }^{2}a}(2-2{\cos }^{2}a)+{\cos }^{2}a$

Распределим $\frac{{\cos }^{2}a}{{\sin }^{2}a}$ внутри скобок: $\frac{{\cos }^{2}a}{{\sin }^{2}a}\cdot 2-\frac{{\cos }^{2}a}{{\sin }^{2}a}\cdot 2{\cos }^{2}a+{\cos }^{2}a$

Упрощаем каждое из слагаемых: $\frac{2{\cos }^{2}a}{{\sin }^{2}a}-\frac{2{\cos }^{4}a}{{\sin }^{2}a}+{\cos }^{2}a$

Теперь объединим всё в одно выражение: $2{\cot }^{2}a-2{\cot }^{2}a{\cos }^{2}a+{\cos }^{2}a$

Заменим ${\cot }^{2}a$ обратно: $2\frac{{\cos }^{2}a}{{\sin }^{2}a}-2\frac{{\cos }^{4}a}{{\sin }^{2}a}+{\cos }^{2}a$

Теперь приведем к общему знаменателю: $\frac{2{\cos }^{2}a}{{\sin }^{2}a}-\frac{2{\cos }^{4}a}{{\sin }^{2}a}+{\cos }^{2}a=\frac{2{\cos }^{2}a-2{\cos }^{4}a+{\cos }^{2}a{\sin }^{2}a}{{\sin }^{2}a}$

Соберем всё вместе: $\frac{2{\cos }^{2}a-2{\cos }^{4}a+{\cos }^{2}a{\sin }^{2}a}{{\sin }^{2}a}$

Теперь заметим, что ${\cos }^{2}a(1-{\cos }^{2}a$ = \cos^2 a \sin^2 a): $\frac{2{\cos }^{2}a-2{\cos }^{4}a+{\cos }^{2}a{\sin }^{2}a}{{\sin }^{2}a}=\frac{{\cos }^{2}a(2-2{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a)}{{\sin }^{2}a}$

Поскольку $2-2{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a=2-2{\cos }^{2}a+(1-{\cos }^{2}a$ = 3 - 3\cos^2 a): $\frac{{\cos }^{2}a(3-3{\cos }^{2}a)}{{\sin }^{2}a}$

$\frac{{\cos }^{2}a\cdot 3(1-{\cos }^{2}a)}{{\sin }^{2}a}=3\frac{{\cos }^{2}a\cdot {\sin }^{2}a}{{\sin }^{2}a}=3{\cos }^{2}a$

Итак, окончательный упрощенный вид выражения: $3{\cos }^{2}a$

Таким образом, выражение ${\cot }^{2}a(1-\cos 2a$ + \cos^2 a ) упрощается до $3{\cos }^{2}a$.